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Sur le paraboloide des normales d’une surface réglée. (French) JFM 09.0443.01
Wenn \(G\) die erzeugende Gerade einer Regelfläche ist, so existirt in jedem Punkt \(a\) dieser Geraden eine Tangentialebene der Fläche. Zu der Tangentialebene im unendlich entfernten Punkt der Geraden steht eine Tangentialebene senkrecht, welche ihren Berührungspunkt in einem bestimmten Punkt \(c\) der Geraden hat. Letztere Ebene hat Herr Mannheim Centralebene und ihren Berührungspunkt Centralpunkt genannt. Bestimmt man einen Punkt auf der Geraden durch seinen Abstand \(y\) vom Punkte \(c\), und die Lage der zu ihm gehörigen Tangentialebene durch die Tangente ihres Neigungswinkels \(Y\) gegen die Ceutralebene, so stellt sich die eindeutige Wechselbeziehung zwischen den Grössen \(y\) und tg \(Y\) in der Form der \(y = k.\text{ tg } Y\). Die Grösse \(k\) ist eine die Natur der Regelfläche längs \(G\) characterisirende Constante und ist von Herrn Mannheim Vertheilungsparameter genannt worden. An diese Grundbegriffe, deren Bedeutung und Tragweite in dem “Mémoire sur les pinceaux de droites et les normalies” seiner Zeit von Herrn Mannheim entwickelt worden ist, (siehe F. d. M. IV. p. 287, JFM 04.0287.01) musste zunächst erinnert werden, um die vorliegende Untersuchung in ihrer Natur zu kennzeichnen.
Es sei \(G\) die erzeugende Gerade einer geradlinigen Fläche \((G)\), \(c\) ihr Centralpunkt und \(N\) die Normale auf der Centralebene im Punkte \(c\), endlich sei \(k\) der Vertheilungsparameter der Tangentialebenen längs \(G\). Die Normalen auf der Fläche längs \(G\) bilden ein Paraboloid. Jede Normale ist also eine erzeugende Gerade des Paraboloids und hat demnach ihren Vertheilungsparameter. Dieser hängt naturgemäss von dem Vertheilungsparameter \(k\) ab und der Normalen welche ausgewählt worden ist. Bildet diese einen Winkel \(O\) mit der Normalen \(N\), so ist der Vertheilungsparameter der betrachteten Normalen durch den Ausdruck \(\frac{K}{\cos^2 O}\) bestimmt. Aus diesem Werthe ergiebt sich weiter, dass, wenn \(a\) der Punkt ist, von dem die betrachtete Normale ausgeht, jener Werth \(K_1\) gleich der mittleren Proportionale aus den Hauptkrümmungsradien der Fläche \((G)\) in \(a\) ist. Diese Eigenthümlichkeit hat für jede Fläche \(F\) statt (Siehe Mémoire sur les pinceaux de droites etc. cap. XXXI.), wenn man als Leitcurve für die geradlinige Fläche, welche Herr Mannheim “normalies” genannt hat, eine Asymptotenlinie der Fläche \(F\) benutzt.
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Full Text: DOI Numdam EuDML