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Tangentensingularitäten der allgemeinen Ordnungsfläche. (German) JFM 09.0457.02
In den Gött. Nachr. 1876 S. 89, sodann in dem ersten Aufsatz der Beiträge zur abzählenden Geometrie. Math Ann. X. S. 98 hatte Schubert die bisher noch nicht erledigten Probleme der in endlicher Zahl vorhandenen singulären Tangenten einer Punktfläche, welche fünfpunktig etc. berühren, behandelt, mit Benutzung der Punktepaarformeln \(1^{\text{ter}}\) Dimension des genannten längeren Aufsatzes, in den Gött. Nachr. jedoch mit Vermeidung der symbolischen Bezeichnung. Man vergl. das Referat F. d. M. VIII. 406,407, JFM 08.0406.01 . Er hatte damals bemerkt, dass er mit Hülfe der Punkte- und Strahlenpaar-Formeln der verschiedenen Dimensionen alle auf die singulären Tangenten einer allgemeinen Punktfläche bezüglichen Probleme lösen könne. Die Lösung giebt die vorliegende Abhandlung.
Die Formeln der vier ersten Dimensionen für Paare von Punkten und sich schneidenden Geraden werden aus dem Aufsatz in Bd. X. wiederholt; sodann wird als oft zu benutzender Satz hervorgehoben, dass zwei curven \(np^{\text{ter}}\) und \(nq^{\text{ter}}\) Ordnung auf der Fläche \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, welche volle Schnitte derselben mit Flächen \(p^{\text{ter}}\) und \(q^{\text{ter}}\) Ordnung sind, \(npq\) Punkte gemein haben; freilich wird dieser Satz - und das vermindert den Werth der sonst interessanten Betrachtungen etwas - auch auf solche Curven angewandt, von denen noch nicht bewiesen ist, dass sie volle Schnitte sind. Das Verfahren mag an einigen Beispielen gezeigt werden. Zuerst werden sämmtliche \(\infty'\) Geraden des Raumes betrachtet; auf jeder liegen \(n\) Punkte der Fläche, die zu je zweien zu einem Paar \((c,d,g)\) zusammengestellt werden, (man sehe Bd. VIII. 403); eine Formel \(4^{\text{ter}}\) Dimension ist \[ c^3g+d^3g+G=\varepsilon bg_p-\varepsilon b^3 ; \] \( c^2g=d^3g=\varepsilon b^3=0 \). weil überhaupt in einen beliebigen Raumpunkt kein Punkt eines der Paare fällt; \(G=n(n-1)\), weil jede Gerade die gerade \(g\) sein kann, und dann \(n(n-1)\) Paare enthält; also \[ \varepsilon bg_p = n(n-1); \] d. h. die Zahl der Coincidenzpaare \((\varepsilon)\), bei denen die Gerade \(g\) mit einem gegebenen Punkt \((g_p)\) und der Concidenzpunkt mit einer gegebenen Ebene incident ist \((b)\), ist \(n(n-1)\), oder, anders ausgesprochen, sie Curve der Berührungspunkte der Tangenten der Fläche aus einem Punkte ist von der Ordnung \(n(n-1)\); womit aber noch nicht bewiesen ist, dass sie ein voller Schnitt ist; so dass der folgende Schluss des Aufsatzes, der zur Klasse der Fläche führt, noch nicht berechtigt ist.
Darauf werden die \(\infty^3\) Tangenten betrachtet; die Combinirung des Berührungspunktes \((c)\) und eines einfachen Schnittes \(d\) führt zu den Sätzen über Haupttangenten (so. z. B. giebt die Formel \(3^{\text{ter}}\) Dimension \(c^3+c^2d-c^2g=\varepsilon b^2\), dass es in jedem Punkte der Fläche zwei solche Tangenten giebt), die Combinirung zweier einfachen Schnitte zu Sätzen über Doppeltangenten.
Vermittels der in demselben Punkte berührenden Haupt- und Doppeltangenten, ihrer ferneren Berührungs- und Schnittpunkte werden nun 37 zwei- und einstufige Systeme von Punkten- oder Strahlenpaaren construirt; darauf werden mehrere Sätze über Haupt- und Doppeltangenten, freilich mit mehrfacher noch nicht berechtigter Benutzung des obigen Satzes (z. b. bei der Ermittelung der Zahl der Punkte der Fläche, bei welchen beide Haupttangenten gegebene Geraden treffen), abgeleitet. Auf die genannten Systeme werden nun die Formeln \(2^{\text{ter}}\) bez. \(1^{\text{ter}}\) Dimension angewandt, und so Sätze über die in einfach unendlicher Zahl vorhandenen Tangenten, welche 4punktig, 3- und 2punktig, dreimal 2punktig berühren, über die parabolischen Punkte und ihre Haupttangenten erhalten. So führt die Strahlenpaar-Formel \[ gh-c^2-\mu^2=\varepsilon k \] (Bd. VIII. S. 404), angewandt auf die Paare der je in demselben Punkte berührenden Haupttangenten, zum Grade der fläche, die von den einzigen Haupttangenten der parabolischen Punkte erzeugt wird. Schubert betrschtet z. B. auch die Fläche der Doppeltangenten, die einmal in einem Punkte vierpunktiger Berührung tangiren, die Curven von deren weiteren Berührungs- und Schnittpunkten, u. s. w.
Dann werden die in endlicher Zahl vorhandenen Singularitäten betrachtet: die fünfpunktig etc. (VIII. 406) berührenden Tangenten; die in einem parabolischen Punkte vierpunktig oder in ihm dreipunktig und anderswo zweipunktig berührenden Tangenten; diejenigen Tangenten, die eine dreipunktige und eine zweipunktige Berührung mit gemeinsamer Tangentialebene an beiden Stellen eingehen: die Punkte, deren beide Haupttangenten vierpunktig, oder noch an einer anderen Stelle zweipunktig berühren, oder von denen die eine jenes, die andere dies thut. Z. B. das System der \(\infty'\) Punktepaare, welche auf den vierpunktig berührenden Tangenten durch den Berührungspunkt und je einen einfachen Schnitt oder auf den drei- und zweipunktig berührenden Tangenten durch beide Berührungspunkte gebildet werden, führt durch die Punktepaarformel \(1^{\text{ter}}\) Dimension zur Zahl der fünfpunktig berührenden Tangente.
Durch diese mehrfache Berechnung derselben Zahl ergeben sich einerseits Controlen, andererseits neue numerische Resultate, wie z. B., dass von den \(n^2 - n - 7\) Doppeltangenten, welche ihren einen Berührungspunkt in dem einer vierpunktigen Tangente haben, wenn diese eine fünfpunktige wird, drei sich mit ihr vereinigen.
Am Schlusse zeigt Schubert, indem er die Zahl der Punkte mit zwei vierpunktigen Haupttangenten anders erhalten hat, als Clebsch (Crelle J. LXIII.), an welcher Stelle der Abzählung dieser sich geirrt hat.

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