Démonstration de quelques propriétés générales des surfaces du second ordre. (French) JFM 09.0554.01

Hioux, V.

Nouv. Ann. (2) XVI. 303-312 (1877).

1. Wenn im Raume eine Fläche zweiter Ordnung und ein Kegelschnitt gegeben sind und man in der Ebene des Kegelschnitts irgend ein ihm conjugirtes Dreieck bestimmt und durch dessen Seiten Tangentialebenen an die gegebene Fläche zweiter Ordnung legt, so ist der geometrische Ort des Durchschnittspunktes dieser drei Ebenen eine Fläche zweiter Ordnung, welche durch den gegebenen Kegelschnitt hindurchgeht, und der Pol der Ebene des Kegelschnitts ist in Bezug auf beide Flächen derselbe Punkt. Zusatz. Ist die Ebene des Kegelschnitts Tangentialebene der Fläche, so ist der besprochene geometrische Ort aufgelöst in diese Ebene selbst und eine andere Ebene.
2. Wenn zwei Flächen zweiter Ordnung \(A\) und \(B\) gegeben sind, und eine bestimmt ein der Fläche \(B\) conjugirtes Tetraeder, dessen einer Enckpunt \(T\) unverändert ist, und wenn man durch jede der drei Kanten des Tetraeders, die nicht durch \(T\) gehen, eine Tangentialebene legt, so ist der Ort des Durchschnittspuntes dieser drei Tangentialebenen eine Fläche zweiter Ordnung \(\sum\), welche durch den Durchschnitt der Fläche \(B\) mit der \(T\) gegenüberliegenden Ebene des Tetraeders geht, und die Pole dieser Ebene in Bezug auf die Flächen \(A\) und \(\sum\) sind identisch.
Der zweite Satz ist nur ein anderer Auspruch des ersten, welcher überleiten soll zu folgender Specialisirung:
Wenn man an eine Fläche zweiter Ordnung \(A\) drei Tangentialebenen legt, welche drei conjugirten Diametralebenen einer enderen Fläche \(B\) parallel sind, so ist der Ort ihres Durchschnittspunktes eine Fläche zweiter Ordnung \(\sum\), die ähnlich und ähnlich liegend mit \(B\) ist. Endlich erhält man ähnliche Sätze, in welchen statt der zwei gegebenen Flächen zweiter Ordnung zwei Kegelschnitte auftreten, die in beliebigen Ebenen liegen.

Reviewer: August, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. C. Raumgebilde ersten, zweiten und dritten Grades.