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Étude d’une question relative au mouvement d’un point sur une surface de révolution. (French) JFM 09.0648.02
Herr Bertrand hatte in [C. R. 77, 849–853 (1873; JFM 05.0470.01)] die Frage untersucht, für welche Atractionsgesetze ein von einem festen Punkte angezogener Punkt eine geschlossene Bahn habe. In der vorliegenden Arbeit dehnt Herr Darboux diese Frage auf Rotationsflächen aus, indem er annimmt, dass der Punkt nur Kräften unterworfen ist, welche von Punkten der Axe ausgehen oder ihr parallel sind und welche Functionen der Entfernung des Punktes von einer festen der Axe parallelen Ebene sind. Es sei \(z\) die Axe der Oberfläche, \(r\) die Entfernung eines Punktes von dieser Axe, \(z=\varphi(r)\) die Gleichung der Fläche und endlich \(f(r)\) die Kräftefunction. Ist endlich \(\omega\) der Winkel des den beweglichen Punkt enthaltenden Maridians mit einem festen Meridian, wo wird die Gleichung der Bahn \[ \frac{(1+\varphi^{\prime 2})dr^2}{r^4 d\omega}= C^2 f(r)+h-\frac{1}{r^2}, \] wo \(C^2\) und \(h\) willkürliche Constante sind. Damit die Bahn dann eine geschlossene sei, ergiebt sich als Bedingung \[ \int_a^b \frac{\sqrt{1+\varphi^{\prime 2}}\sqrt{f(b)-f(a)}}{r^2\surd \varDelta} \,dr=\mu \pi, \] wo \(\mu\) eine conmmensurable Constante, \(a\) und \(b\) die Radien der Parallelkreise, zwischen denen die Bewegung verläuft, endlich \[ \varDelta= \left|\;\begin{matrix}\l\quad & \l\quad & \l\\ f(r) & 1 & \frac {1}{r^2} \\ f(a) & 1 & \frac {1}{a^2} \\ f(b) & 1 & \frac {1}{b^2} \end{matrix} \;\right| . \] Der Verfasser betrachtet dann zunächst den Fall \(f(r)=\) constant, d. h. er untersucht also, für welche Rotationsflächen die geodätischen Linien geschlossen sind. Er gelangt dabei zu der Gleichung \[ \varpi^{\text{II}} \varpi^{\text{IV}}-4\varpi^{\text{III2}}=0, \] aus der \(\varpi(x)\) bestimmt werden kann. Es ist dabei \[ f(r)=x, \quad \frac{1}{r^2}=\varpi(x) \] gesetzt. Diese Gleichung ergiebt für \(\varpi(x)\) zwei betrachbare Lösungen \[ \varpi(x)=Cx^2+Bx+A \quad \text{ und }\quad \varpi(x)= \frac{A}{x-\alpha}+Bx+C. \] Es wird dann allgemein gezeigt, wie man aus diesem Resultat zu den nöthigen Schlüssen über die Natur der Fläche und der Kräfte gelangen kann. Im ersten Fall wird für \(\mu=1\) die Fläche eine Kugel und die Kraft muss taangential zum Meridian und umgekehrt proportional dem Quadrate von \(r\) sein, ein Resultat, das mit dem bekannten Factum übereinstimmt, dass bei einer solchen Kraft die Bahn ein sphärischer Kegelschnitt ist. Der Fall \(\mu\) nicht gleich 1, führt an Rotaionsflächen, die auf einer Kugel abwickelbar sind. Für den speciellen Fall \(C=0, \mu=1\) ergiebt sich eine ebene Bewegung, wo die Kraft umgekehrt proportional dem Quadrate der Entfernung von einem festen Punkte, dem Kraftcentrum, ist. \(C=0,\mu\) nicht 1 giebt einen Rotationskegel, mit demselben Kraftgesetz, wo die Spitze des Kegels der Sitz der Kraft ist. Für den zweiten Fall beschränkt sich der Verfasser auf \(\mu=1\), da alle andern Voraussetzungen über \(\mu\) zu Flächen führen, die auf denen von \(\mu=1\) abwickelbar sind. Für den Fall \(B=0\) ergiebt sich eine Kugel. Die Kraft ist tangfential zum Meridian. \(B\) und \(C\) gleichzeitig gleich Null ergeben eine Bewegung in der Ebene, wo die Anziehung proportional der Entfernung ist. Andere Voraussetzungen über \(A,B,C\) übergeht der Verfasser als zu complicirt. Im letzten Abschnitt der Arbeit untersucht dann der Verfasser noch das Problem für den Fall, der bisher ausgeschlossen war, dass der Aequator oder der Parallelkreis des Maximumradius zwischen die begrenzenden Parallelkreise falle, und wendet sich speciell zu der Frage der geodätischen Linien. Er spricht des Resultat in fogendem Satz aus: Die einzigen Rotationsflächen mit einem Parallelkreis als Symmetrieebene, welche geschlossene geodätische Linien haben, sind die Kugel und die auf einer Kugel abwickelbaren Flächen, für welche das Verhältiniss der Fläche zu der der Kugel von derselben Krümmung eine commensurable Zahl ist.

MSC:
70F99 Dynamics of a system of particles, including celestial mechanics
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Full Text: DOI Numdam EuDML