Derivations into iterated duals of Banach algebras. (English) Zbl 0903.46045

Dales, H. G.; Ghahramani, F.; Grønbæk, N.

Stud. Math. 128, No. 1, 19-54 (1998).

Les AA. considèrent un bimodule de Banach \(X\) sur une algèbre de Banach \({\mathfrak U}\); ils en étudient les duals successifs \(X',X'',\dots, X^{(n)},\dots\) et ce qui’ils appellent leur “amenability” faible, c’est-à-dire la nullité du premier groupe de cohomologie de \({\mathfrak U}\) \({\mathfrak H}_1({\mathfrak U},{\mathfrak U}^{(n)})\), dont les coefficients se trouvent dans le \(n\)-ième dual de \({\mathfrak U}\) pour la \(n\)-“amenability”. La question qui est étudiée avec force détails est l’hérédité de cette propriété, qui dépend de la parité de l’entier \(n\); par ailleurs, ces résultats sont liés à l’existence d’une dérivation continue dans ces espaces successifs. Sont abordés les cas des \(C^*\)-algèbres, des algèbres de Banach commutatives, des algèbres de groupes, des algèbres d’opérateurs (l’exemple le plus important). Ce très intéressant exposé se caractérise dans sa rédaction par la clarté et la rigueur; cette dernière est confirmée par l’énoncé d’un certain nombre de problèmes ouverts, qui, sans doute, feront l’objet de publications ultérieures.

Reviewer: H.Mascart (Toulouse)

MSC:

46H25	Normed modules and Banach modules, topological modules (if not placed in 13-XX or 16-XX)
46M20	Methods of algebraic topology in functional analysis (cohomology, sheaf and bundle theory, etc.)
46H35	Topological algebras of operators
47L10	Algebras of operators on Banach spaces and other topological linear spaces
46J15	Banach algebras of differentiable or analytic functions, \(H^p\)-spaces
43A10	Measure algebras on groups, semigroups, etc.

Keywords:

derivations; iterated duals of Banach algebras; cohomology group; amenability