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Rigidity of infinite packings properly immersed in the plane and in the disk. (Rigidité des empilements infinis immergés proprement dans le plan et dans le disque.) (French) Zbl 0905.05019

Séminaire de théorie spectrale et géométrie. Année 1993-1994. Chambéry: Univ. de Savoie, Fac. des Sciences, Service de Math. Sémin. Théor. Spectrale Géom., Chambéry-Grenoble. 12, 69-85 (1994).
En 1987, Burt Rodin et Dennis Sullivan publient le premier résultat de rigidité d’empilement de cercles: sous certaines hypothèses, il n’est pas possible de déformer l’empilement hexagonal standard. Ce théorème a reçu depuis lors des généralisations dans plusieurs directions. Zheng-Xu He, d’abord seul, puis associé à Peter Doyle et Burt Rodin, obtient des estimations de plus en plus précises du comportement asymptotique de la constante \(s_n\) qui mesure le défault maximal de \(n\) générations d’un empilement hexagonal plongé à être régulières. Parallèlement, He et Rodin simplifient la preuve initiale tout en généralisant le théorème à des empilements non hexagonaux de valence bornée. Enfin, par des méthodes entièrement différentes, Oded Schramm parvient à s’affranchir de l’hypothèse de valence bornée.
L’objet de ce travail est de replacer le théorème de rigidité de l’empilement hexagonal standard dans le contexte des empilements hexagonaux immergés et d’obtenir comme corollaire un théorème de rigidité des empilements immergés proprement dans le plan.
La section II est une présentation des empilements hexagonaux infinis immergés. Outre la définition, nous citons les seuls exemples connus, les empilements dits de type exponentiels, puis la conjecture de Doyle. Nous énonçons alors le seul résultat connu sur ce type d’empilements, résultat dû à Kevin Callahan et Burt Rodin et qui est un analogue du petit théorème de Picard. La section III est consacrée à la preuve de He et Rodin du théorème de rigidité de l’empilement hexagonal standard. Le corollaire sur les empilements immergés proprement est exposé dans la section IV. Nous poursuivons (section V) par un tour d’horizon des résultats et des méthodes concernant les empilements infinis immergés proprement dans le disque. Enfin, nous terminons cet exposé (section VI) par quelques rappels sur la constante \(s_n\). Outre la définition, nous montrons qu’elle tend vers \(0\) quand \(n\to\infty\) et énonçons des résultats plus récents concernant son comportement asymptotique.
For the entire collection see [Zbl 0812.00007].

MSC:

05B40 Combinatorial aspects of packing and covering
30E10 Approximation in the complex plane
51M15 Geometric constructions in real or complex geometry
60G50 Sums of independent random variables; random walks
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