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Classification of selfdual Dieudonné lattices in a three dimensional polarized supersingular isocrystal. (Klassifikation von selbstdualen Dieudonnégittern in einem dreidimensionalen polarisierten supersingulären Isokristall.) (German) Zbl 0906.14021
Bonner Mathematische Schriften, 311. Bonn: Univ. Bonn, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät, 45 S. (1998).
Es sei \({\mathcal A}_{g,N}/ \mathbb{F}_p\) der Modulraum der prinzipal polarisierten abelschen Varietäten der Dimension \(g\geq 1\) in Charakteristik \(p\geq 3\) mit \(N\)-Niveaustruktur, wobei \(N\geq 3\) eine zu \(p\) teilerfremde ganze Zahl ist. Eine abelsche Varietät heißt supersingulär, wenn sie isogen zu einem Produkt supersingulärer elliptischer Kurven ist. Der supersinguläre Ort \({\mathcal A}^{ss}_{g,N}\) in \({\mathcal A}_{g,N}\) ist die Teilmenge, deren Punkte zu supersingulären abelschen Varietäten korrespondieren. Die Menge der \(\overline \mathbb{F}_p\)-wertigen Punkte von \({\mathcal A}^{ss}_{g,N}\) läßt sich wie folgt beschreiben: Es seien \(G:=\text{GSp}_g/ \mathbb{Q}\) die Gruppe der symplektischen Ähnlichkeiten in \(2g\) Variablen, \(K^p_N: =\text{Ker} (G(\mathbb{A}^p_f)\to G(\mathbb{Z}/N \mathbb{Z}))\) und \({\mathcal M}^p: =G(\mathbb{A}^p_f)/K^p_N \). Hier bezeichne \(\mathbb{A}^p_f\) die Elemente im Adelring \(\mathbb{A}\) von \(\mathbb{Q}\), die an den Stellen \(p\) und \(\infty\) trivial sind. \(I/\mathbb{Q}\) bezeichne die Isogeniegruppe einer supersingulären abelschen Varietät über \(\overline \mathbb{F}_p\). Schließlich sei \(Y\) der (bis auf Isomorphie) eindeutige polarisierte supersinguläre Isokristall über \(\overline \mathbb{F}_p\) der Dimension \(g\). Dies ist ein \(2g\)-dimensionaler Vektorraum über dem Quotientenkörper des Wittrings \(W\) von \(\overline \mathbb{F}_p\), zusammen mit einem semilinearen Automorphismus \(F\) und einer nicht-ausgearteten alternierenden Form, die eine Kompatibilitäts-Bedingung erfüllen. Dann gilt [siehe R. E. Kottwitz in: Automorphic forms, Shimura varieties, and \(L\)-functions, Vol. I, Proc. Conf., Ann. Arbor 1988, Perspect. Math. 10, 161-209 (1990; Zbl 0743.14019); §12]: \[ {\mathcal A}^{ss}_{g,N} (\mathbb{F}_p)= I(\mathbb{Q}) \setminus {\mathcal M}^p \times {\mathcal M}_p. \] Hierbei ist \({\mathcal M}_p\) die Menge der bis auf einen Faktor selbstdualen Gitter in \(Y\), für die gilt: \(pM\subset FM\subset M\). Auf der Menge \({\mathcal M}_p\) operieren der Automorphismus \(F\) des Isokristalls und die Gruppe \(G^*(\mathbb{Q}_p)\), wobei \(G^*: =I\times \mathbb{Q}_p\).
Das Ziel dieser Arbeit ist es, für \(g=3\) die Menge \({\mathcal M}_p\) zusammen mit diesen Operationen zu beschreiben. \({\mathcal M}_p\) wird in Termen des Bruhat-Tits-Gebäudes \({\mathcal B} (G^*)\) der Gruppe \(G^*\) über \(\mathbb{Q}_p\) folgendermaßen beschrieben: Methoden von T. Katsura und F. Oort [in: Algebraic geometry, Proc. Symp., Sendai 1985, Adv. Stud. Pure Math. 10, 253-281 (1987; Zbl 0656.14025)] beschreiben gewisse Teilmengen in \({\mathcal M}_p\), die \({\mathcal M}_p\) überdecken. Deren Schnittverhalten beschreibt ein Graph \({\mathcal H}\). Das Hauptresultat dieser Arbeit ist folgender Satz:
Satz: Es gilt \({\mathcal H}= \coprod_{n\in \mathbb{Z}} {\mathcal G}_n\) mit \({\mathcal G}_n: ={\mathcal B} (G^*)_n: ={\mathcal B} (G^*)\) für \(n\in \mathbb{Z}\). Die durch \(F\) und \(g\in G^* (\mathbb{Q}_p)\) induzierten Operationen auf \({\mathcal H}\) sind gegeben durch \[ \begin{matrix} F: & {\mathcal B} (G^*)_n & \to & {\mathcal B} (G^*)_{n+1}\\ & x & \mapsto & x. \end{matrix} \] Für \(g\in G^* (\mathbb{Q}_p)\) ergibt sich \[ \begin{matrix} g: & {\mathcal B} (G^*)_n & \to & {\mathcal B} (G^*)_{n+ \text{val}_p\bigl( \mu(g) \bigr)} \\ & x & \mapsto & gx, \end{matrix} \] wobei \(x\mapsto gx\) die übliche Operation von \(g\) auf dem Bruhat-Tits-Gebäude \({\mathcal B}(G^*)\) bezeichnet.

MSC:
14K10 Algebraic moduli of abelian varieties, classification
14K15 Arithmetic ground fields for abelian varieties
14G35 Modular and Shimura varieties
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