×

zbMATH — the first resource for mathematics

Discrete decomposability of the restriction of \(A_{{\mathfrak q}}(\lambda)\) with respect to reductive subgroups. III: Restriction of Harish-Chandra modules and associated varieties. (English) Zbl 0907.22016
Sei \(h\) eine komplexe Liealgebra und \(X\) ein \(h\)-Modul. Der Autor nennt \(X\) diskret zerlegbar, falls eine aufsteigende Filtrierung \(\{X_m\}\) von \(h\)-Moduln existiert, so daß (i) \(X= \cup^\infty_{m=0} X_m\), (ii) \(X_m\) als \(h\)-Modul von endlicher Länge ist.
Für eine reelle reduktive lineare Liegruppe \(G\), eine abgeschlossene Untergruppe \(H\) und eine maximale kompakte Untergruppe \(K\) von \(G\) heißt \(X\) diskret zerlegbar als ein \((h,H \cap K)\)-Modul, falls \(X\) ein \((h,H \cap K)\)-Modul und als \(h\)-Modul diskret zerlegbar ist. Diese rein algebraische Umformulierung der in Teil I der Arbeit [Invent. Math. 117, 181-205 (1994; Zbl 0826.22015)] untersuchten diskreten Zerlegbarkeit ermöglicht für reduktive symmetrische Paare \((G,H)\) zu zeigen, daß die frühere hinreichende Bedingung für die Zerlegbarkeit auch notwendig ist. An den Beispielen \((G,H)= (U(2,2), Sp(1,1)) \approx (SO(4,2), SO(4,1))\) und normaler reeller Formen komplexer reduktiver linearer Liegruppen (wie etwa \((SO (2n, \mathbb{C})\), \(SO(n,n))\) oder \((e_n, e_{n(n)})\), \(n=6,7,8)\) werden die Ergebnisse schließlich illustriert.

MSC:
22E45 Representations of Lie and linear algebraic groups over real fields: analytic methods
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI