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Geometric quantization. 2nd ed. (English) Zbl 0907.58026
Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press. xi, 307 p. (1997).
Ce livre est une contribution à l’étude de la quantification géométrique. Cette théorie a fait l’objet de plusieurs publications originales durant les vingt dernières années. La quantification géométrique a été aussi le sujet de plusieurs ouvrages mais ce livre présente de nombreuses applications de cette méthode de quantification. Il est composé de dix chapitres. Dans le premier chapitre, l’auteur rappelle les notions essentielles de la géométrie symplectique. Le deuxième chapitre est consacré au rappel de la mécanique Hamiltonienne. Dans le troisième chapitre l’auteur met en évidence l’importance de la notion de symétrie dans la physique quantique. En effet, dans un premier temps il définit l’application moment et donne la condition de cocycle pour qu’une action soit Hamiltonienne. Dans un deuxième temps il étudie les systèmes classiques élémentaires c’est-à-dire ceux dont l’action du groupe de symétrie est irréductible. A la fin de ce chapitre, l’auteur décrit les méthodes de réduction, en particulier la réduction de Marsden-Weinstein. L’équation de Hamilton-Jacobi est donnée dans le chapitre quatre. L’auteur introduit les outils géométriques permettant la formulation et la résolution de cette équation, en particulier les polarisations réelles et la notion de complète intégrabilité et décrit une méthode de séparation de l’équation de Hamilton-Jacobi.
Le chapitre cinq est consacré à l’étude des polarisations complexes et contient aussi un préliminaire de géométrie différentielle sur les structures complexes et les variétés kähleriennes. Le chapitre six commence par un rappel sur l’algèbre spinorielle et le groupe de Lorentz. L’auteur étudie ensuite les systèmes relativistes élémentaires. Plus précisement, il décrit la géométrie des orbites du dual de l’algèbre de Lie du groupe de Poincaré associées à ces systèmes. Il explicite le cas des particules massives et celui des particules sans masse. Dans le chapitre sept, l’auteur propose une formulation de la mécanique Hamiltonienne à l’aide de la théorie des champs. Il établit une relation entre la densité Lagrangienne et la structure symplectique sur l’espace des solutions. La méthode de quantification géométrique est exposée dans les trois derniers chapitres. En effect, l’auteur commence par donner la définition d’une variété symplectique quantifiable \((M, \Omega)\). Il montre alors que cette condition d’integrabilité implique l’existence d’un fibré hermitien en ligne \(B\) au-dessus de \(M\) et d’une connexion \(\nabla\) de courbure \(\hbar^{-1} \Omega\). L’espace des sections de carré integrable \({\mathcal H}\) sera naturellement un espace de Hilbert et on obtient une correspondance entre les observables classiques et les opérateurs sur \({\mathcal H}\) en posant: \(\widehat f s= -i\hbar \nabla_{X_f} s+f s\) pour tout \(f\) dans \({\mathcal C}^\infty (M)\). L’auteur explique ensuite qu’une structure supplémentaire sur \(M\) est nécessaire pour caractériser les observables vérifiant la condition quantique de Dirac. Ceci se fait à l’aide des polarisations \(P\). Il considère alors le sous-espace \({\mathcal H}_P\) de \({\mathcal H}\) des sections polarisées cest-à-dire les sections vérifiant \(\nabla_{\overline X} s=0\) pour tout \(X\) dans \(V_P (M)\). Il montre que, dans le cas où \(P\) est kählérienne positive, \({\mathcal H}_P\) est un sous-espace de Hilbert et \(\widehat f\) se restreint à \({\mathcal H}_P\). Dans le cas général cette méthode ne suffit pas et une correction en utilisant la notion de demi-forme est nécessaire. Ceci fait l’objet du chapitre dix. Dans ces chapitres, l’auteur étudie plusieurs exemples comme l’oscillateur harmoniques, les groupes compacts ou les états cohérents.
Cet ouvrage, écrit dans un style simple et explicite, est un livre de mathématiques appliquées comme le précise l’auteur. Il met en évidence l’intéret de ce procédé de quantification à partir de nombreux exemples issus des différentes mécaniques.
Reviewer: M.Masmoudi (Metz)

MSC:
53D50 Geometric quantization
37-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to dynamical systems and ergodic theory
81-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to quantum theory
37J99 Dynamical aspects of finite-dimensional Hamiltonian and Lagrangian systems
81S10 Geometry and quantization, symplectic methods
81S40 Path integrals in quantum mechanics
37N99 Applications of dynamical systems
58D30 Applications of manifolds of mappings to the sciences
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