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Boyarsky principle and \(\mathcal D\)-modules. (Principe de Boyarsky et \(\mathcal D\)-modules.) (French) Zbl 0911.14012
Soit \({\mathbb K}\) un corps normé complet contenant \({\mathbb Q}_p\) et soit \(T\) un tore deployé. Dans ce travail l’auteur introduit d’abord une \({\mathbb K}\)-algèbre cohérente \(\Delta_T^\vee\) d’opérateurs aux différences \(p\)-adiques analytiques: \(\Delta_T^\vee\) est l’anneau non commutatif formé des sommes finies \(\sum_{\chi \in X_T} f_\chi \chi\) avec \(f_\chi \in {\mathcal A}(\Omega_T^0)\), avec la relation de commutation \(\chi f_\chi = \chi(f_\chi) \chi\), où:
(1) \(X_T=Hom_{\mathbb K}(T,{\mathbb G}_{m,{\mathbb K}})\) le groupe des caractères algébriques de \(T\) et \(\Omega_T\) le \({\mathbb K}\)–espace vectoriel des 1-formes différentielles invariantes sur \(T\),
(2) \({\mathcal A}(\Omega^0_T)\) la \({\mathbb K}\)-algèbre des fonctions localement analytiques sur \(\Omega^0_T\), la boule unité de \(\Omega_T\) (pour la norme \(| | (x_1,\cdots,x_n)| | = \sup| x_i| \)).
L’article contient une étude des opérations, entre les algèbres de type \(\Delta_T^\vee\), associées à un morphisme monomial entre tores. Soit \(F: T \rightarrow T\) le morphisme de Frobenius. La notion essentielle de ce travail est celle de \(F\)-\(\Delta_T\)-module holonome (et ses variantes relatives et rationnelles). D’après l’auteur ce concept donne une formalisation adéquate du principe de Boyarsky de B. Dwork [Am. J. Math. 105, 115-156 (1983; Zbl 0517.12012)]. L’énoncé est le suivant: Le transformé de Mellin d’un \({\mathcal D}\)-module algébrique holonome sur un tore satisfait au principe de Boyarsky s’il peut être muni d’une structure de \(F\)-\(\Delta_T\)-module holonome. L’auteur ramène sa démonstration dans certains cas à une conjecture concernant les images inverses par des morphismes monomiaux. La dernière section du papier est consacrée à un problème sur l’image directe par un morphisme non nécessairement monomial et son rapport avec la stabilité des \(F\)-\(\Delta_T\)-modules holonomes par produit tensoriel.

MSC:
14G20 Local ground fields in algebraic geometry
39A10 Additive difference equations
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
32C38 Sheaves of differential operators and their modules, \(D\)-modules
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Full Text: DOI EuDML
References:
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