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A problem of descent. (Un problème de descente.) (French) Zbl 0914.13002
Soient \(A\) un anneau noethérien, \(S\) son spectre, \(I\) un idéal de \(A\), \(A'\) le complété \(I\)-adique de \(A\), de spectre \(S'\), \(U\) (resp. \(U'\)) l’ouvert de \(S\) (resp. \(S'\)) complémentaire du fermé défini par \(I\) (resp. \(IA'\)). Cet article est consacré aux problèmes du type suivant: Si \(X'\) est un “objet” sur \(S'\) (par exemple un \(S'\)-schéma) dont la restriction à \(U'\) provient par changement de base d’un objet de même nature \(X_U\) sur \(U\), est-ce que \(X'\) provient d’un objet sur \(S\) prolongeant \(X_U\)? Celui-ci est-il alors unique?
P. Joyet [Commun. Algebra 24, No. 3, 1035-1049 (1996; Zbl 0873.14015)] traite le cas d’un morphisme \(S'\to S\) non nécessairement affine, toujours pour les modules quasi-cohérents; le lecteur intéressé par l’historique de ces questions pourra se reporter à la bibliographie de ce dernier article.
Un exemple plus élémentaire est le suivant. Avec les mêmes notations, on se donne un schéma \(T\) et un morphisme \(u:U\to T\) que l’on souhaite prolonger en un morphisme \(S\to T\); est-il suffisant pour cela que le composé \(U'\to U\to T\) se prolonge à \(S'\)? La résponse est affirmative (cf. théorème 1.2) mais l’auteur n’a pas trouvé ce résultat dans la littérature.

MSC:
13B35 Completion of commutative rings
14A05 Relevant commutative algebra
13J10 Complete rings, completion
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