×

Extremal functions for an optimal Sobolev inequality in the conformal class of the sphere. (Fonctions extrémales pour une inégalité de Sobolev optimale dans la classe conforme de la sphère.) (French) Zbl 0914.53026

D’après Hebey-Vaugon, sur une variété riemannienne compacte, on sait qu’il existe une constante \(B\) telle que tout \(u\in H_1\) verifie \((*)\) \(\| u\|_{2n/(n-2)}^2\leq K_n^2\|\nabla u\|_2^2+ B\| u\|_2^2\), \(K_n\) étant la meilleure constante dans l’inégalité de Sobolev. L’auteur note \(B_0\) la plus petite constante \(B\) et étudie sur \((S_n,g)\), \(g\) conforme à la métrique standard \(h\) de \(S_n\), la valeur de \(B_0(g)\) et l’existence éventuelle de fonctions extrémales \(u_0\neq 0\) pour lesquelles \((*)\) est une égalité. Lorsque \(n\geq 4\), l’auteur montre que \(B_0(g)= \frac{n-2}{4(n-1)} K_n^2\sup_{S_n} R_g\) où \(R_g\) est la courbure scalaire de \((S_n,g)\), et qu’il existe des fonctions extrémales si et seulement si \(R_g= \text{Constante}\).
La démonstration se fait par l’absurde, après avoir remarqué que \(B_0(g)\geq \frac{n-2}{4(n-1)} K_n^2\sup_{S_n} R_g\), on écrit que l’inf de la fonctionnelle de Yamabe est un invariant conforme. La dimension \(n=3\) est particulière, les développements limités de la fonctionnelle avec les fonctions test habituelles ne donnent rien, on n’a pas l’inégalité ci-dessus.
L’auteur montre, \` l’aide d’un résultat de Brézis-Nirenberg, que sur \(S_3\), \(B_0(g)< \frac 18 K_3^2\sup_{S_3} R_g\) pour certaines métriques conformes \(g\), et qu’il existe des fonctions extrémales si et seulement si \(R_g= \text{Constante}\).

MSC:

53C21 Methods of global Riemannian geometry, including PDE methods; curvature restrictions
58J60 Relations of PDEs with special manifold structures (Riemannian, Finsler, etc.)
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] Aubin, T., Problèmes isopérimétriques et espaces de Sobolev, Journal of Differential Geometry, 11, 573-598 (1976) · Zbl 0371.46011
[2] Aubin, T., Nonlinear analysis on manifolds - Monge-Ampère equations, Grundlehern der Mathematischen Wissenschaften, 252 (1982) · Zbl 0512.53044
[3] Bakri, D.; Ledoux, M., Sobolev inequalities and Myers diameter theorem for an abstract Markov generator, Duke Mathematical Journal, 85, 253-270 (1996) · Zbl 0870.60071
[4] Beckner, W., Sharp Sobolev inequalities on the sphere and the Moser-Trudinger inequality, Annals of Mathematics, 138, 213-242 (1993) · Zbl 0826.58042
[5] Brezis, H.; Nirenberg, L., Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents, Communications on Pure and Applied Mathematics, 36, 437-477 (1983) · Zbl 0541.35029
[6] Hebey, E., Sobolev spaces on Riemannian manifolds, Lecture Notes in Mathematics, 1635 (1996) · Zbl 0866.58068
[7] Hebey, E., Introduction à l’analyse non linéaire sur les variétés (1997), Collection Fondations · Zbl 0918.58001
[8] Hebey, E.; Vaugon, M., Meilleures constantes dans le théorème d’inclusion de Sobolev, Annales de l’Institut Henri Poincaré - Analyse non linéaire, 13, 57-93 (1996) · Zbl 0849.53035
[9] Hebey, E.; Vaugon, M., The best constant problem in the Sobolev embedding theorem for complete Riemannian manifolds, Duke Mathematical Journal, 79, 235-279 (1995) · Zbl 0839.53030
[10] Obata, M., The conjectures on conformal transformations of Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry, 6, 247-258 (1971) · Zbl 0236.53042
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.