Walsh functions for engineers and scientists. (Walsh-Funktionen für Ingenieure und Naturwissenschaftler.) (German) Zbl 0923.65099

Gauß, Eugen

Teubner Studienbücher: Mathematik. Stuttgart: B. G. Teubner. xx, 278 S. (1994).

Aus dem Vorwort: Folgende Themen werden dargestellt:
1. Die Struktur der Walsh-Funktionen. Hervorgehoben werden zwei verschiedene Gesichtspunkte, von denen aus man diese Struktur betrachten kann.
2. Diskrete und schnelle Walsh-Transformationen. Diskrete und schnelle Walsh-Transformationen sind ein Analogon zu den diskreten und schnellen Fourier-Transformationen und dienen zur ökonomischen Berechnung von Walsh-Spektren. Darüber hinaus aber besteht ein enges Verwandtschaftverhältnis zwischen diesen beiden Transformationen. Für die wichtigsten der schnellen Fourier-Transformationen bilden die Walsh-Transformationen das “tragende Fundament”. Das gilt insbesondere auch für die Hartley-Transformationen, die reelle Form der Fourier-Transformation.
3. Verallgemeinerte Ableitungen. Verallgemeinerte Ableitungen sind naturgemäß eng mit den Walsh-Funktionen verbunden, denn diese Funktionen haben ja stets Sprungstellen. Man braucht beim Umgang mit Walsh-Funktionen allenthalben Dirac-Distributionen, und umgekehrt lassen sich Dirac-Distributionen in einfacher Weise durch Walsh-Funktionen approximieren.
4. Integraltransformationen. Verallgemeinerte Walsh-Funktionen erlauben die Einführung von Walsh-(Integral-)Transformationen für nichtperiodische Funktionen. Sie sind ein Analogon zu den Fourier-(Integral-)Transformationen für nichtperiodische Funktionen.
5. Umfeld der Walsh-Funktionen. Neben den Walsh-Funktionen bildet das System der Haar-Funktionen eine Basis für Treppenfunktionen. Wir skizzieren Aufbau und Anwendung dieses Systems. Auf Walsh-Transformationen bauen auch einige nichtlineare Transformationen auf, die z.B. in der Bildverarbeitung Anwendung finden.
Die Laplace-Transformation von Walsh-Funktionen und die damit verbundenen Lösungen von Differenzengleichungen können nur skizzenhaft dargestellt werden.

MSC:

65T50	Numerical methods for discrete and fast Fourier transforms
46F10	Operations with distributions and generalized functions
42C10	Fourier series in special orthogonal functions (Legendre polynomials, Walsh functions, etc.)
00A06	Mathematics for nonmathematicians (engineering, social sciences, etc.)

Keywords:

Walsh functions; textbook; discrete Walsh transform; fast Walsh transform; fast Fourier transform; fast Hartley transform; distributions; Haar functions; image processing