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On nuclei and blocking sets in Desarguesian spaces. (English) Zbl 0929.51005
Es sei $P_n$ bzw. $A_n$ der endliche $n$-dimensionale desarguessche projektive bzw. affine Raum der Ordnung $q = p^s$. Eine Punktmenge $S$ in $P_n$ bzw. $A_n$ heißt eine $t$-fache Blockademenge $(t \ge 1)$, wenn jede Gerade von $P_n$ bzw. $A_n$ die Menge $S$ in mindestens $t$ Punkten trifft. Ein $t$-facher Nukleus einer Punktmenge $S$ von $P_n$ ist jeder nicht zu $S$ gehörende Punkt, durch den jede Gerade die Menge $S$ in mindestens $t$ Punkten trifft. Der Verfasser beweist: Es sei $S$ eine Punktmenge von $P_n$ der Kardinalität $t \Theta_{n-1} + k -1$, wobei $\Theta_{n-1} = { q^n -1\over q -1}$ ist. Gibt es in $P_n$ einer Hyperebene $H$, die genau $i$ Punkte von $S$ enthält, so ist die Anzahl der $t$-fachen Nuklei in $A_n = P_{n} \setminus H$ höchstens $(k + r)(q-1)$ sofern für $r \geq 0$ der Binomialkoeffizient ${t \Theta_{n-1} + k - i - 1 \choose k + r}$ nicht kongruent $0$ modulo $p$ ist. Als Anwendung dieses Satzes ergibt sich: Ist $S$ eine $t$-fache Blockademenge in $A_n$ und $e^{(t)}$ der höchste Exponent, so dass $p^{e (t)}$ die Zahl $t$ teilt, so hat $S$ mindestens $(t + 1) q^{n-1} - p^{e (t)}$ Punkte. Für $e (t) = 0$ hat diese Schranke {\it P. Sziklai} [Discrete Math. 174, No. 1-3, 323-327 (1997; Zbl 0892.51006)] bewiesen.

51E21Blocking sets, ovals, $k$-arcs
Full Text: DOI
[1] Blokhuis, A.; Wilbrink, H.: A characterisation of exterior lines of certain sets of points inpgq. Geometriae dedicata 23, 253-254 (1987) · Zbl 0621.51013
[2] Blokhuis, A.; Mazzocca, F.: On maximal sets of nuclei inpgqagq. Advances in finite geometries and designs, 35-46 (1991)
[3] Blokhuis, A.: On nuclei and affine blocking sets. J. combin. Theory ser. A 67, 273-275 (1994) · Zbl 0808.51011
[4] Blokhuis, A.: On multiple nuclei and a conjecture of lunelli and sce. Bull. belg. Math. soc. 3, 349-353 (1994) · Zbl 0803.51012
[5] Brouwer, A. E.; Schrijver, A.: The blocking number of an affine space. J. combin. Theory ser. A 24, 251-253 (1978) · Zbl 0373.05020
[6] Bruen, A. A.: Polynomial multiplicities over finite fields and intersection sets. J. combin. Theory ser. A 60, 19-33 (1992) · Zbl 0754.05024
[7] Denniston, R. H. F.: Some maximal arcs in finite projective planes. J. combin. Theory 6, 317-319 (1969) · Zbl 0167.49106
[8] Hirschfeld, J. W. P.: Projective geometries over finite fields. (1998) · Zbl 0899.51002
[9] Jamison, R.: Covering finite fields with cosets of subspaces. J. combin. Theory ser. A 22, 253-266 (1977) · Zbl 0354.12019
[10] Sziklai, P.: Nuclei of point sets inpgnq. Discrete math. 174, 323-327 (1997) · Zbl 0892.51006