×

zbMATH — the first resource for mathematics

On proofs of the theorem of Lindemann and the theorem of Gelfond-Schneider. (Russian. English summary) Zbl 0939.11027
Die beiden klassischen Transzendenzsätze im Titel besagen, daß \(\alpha,e^\alpha\in\overline{\mathbb Q}\) für kein \(\alpha\in{\mathbb C}^\times\) gelten kann, bzw. daß \(\beta,\alpha,\alpha^\beta\in\overline{\mathbb Q}\) für \(\beta\in{\mathbb C}\setminus{\mathbb Q}\) und \(\alpha\in{\mathbb C}^\times\) mit \(\log\alpha\not=0\) nicht gelten kann. Verf. gibt für beide Sätze überraschend einfache Beweise, die sich einheitlich so formulieren lassen.
Im 1. Schritt wird mittels Siegels Lemma eine Hilfsfunktion \(f(z) := \sum_{0\leq k,\ell<n} a_{k\ell}z^k e^{\ell z}\) (bzw. genauso mit \(e^{k\beta z}\) statt \(z^k\), unter der Annahme \(\beta\in\overline{\mathbb Q}\setminus{\mathbb Q}\)) mit allen \(a_{k\ell}\in{\mathbb Z}\), \(0\leq\max|a_{k\ell}|\leq n^{\gamma n}\) derart konstruiert, daß \(f^{(t)}(0)= 0\) für \(0\leq t < [n^{3/2}]\) gilt.
Im 2. Schritt wird aus ord \(_{z_0} f \leq n^2\) für alle \(z_0\in{\mathbb C}\) geschlossen, daß \(T := \min_{1\leq x\leq X}\) \(\operatorname{ord}_{x\alpha} f \leq n^2\) gilt, wobei \(X\in{\mathbb N}\) vom Parameter \(n\in{\mathbb N}\) unabhängig geeignet zu wählen ist. Damit existiert also ein \(x_0\in\{1,\ldots,X\}\) mit \(f^{(T)}(x_0\alpha) \neq 0\).
Im 3. Schritt werden bei genügend großem \(n\) die \(|f^{(T)}(x\alpha)|\) mittels Cauchyscher Integralformel und voriger Anwendung des Maximumprinzips auf die ganze Funktion \[ f(z)/z^{[n^{3/2}]} \prod^X_{x=1}(z-x\alpha)^T \] mit den beiden Kreisen \(|z|= X|\alpha|+1 \ll n^{1/2} = |z|\) sehr scharf nach oben abgeschätzt. (Ab dem 2. Schritt hat man für Gelfond-Schneider statt \(\alpha\) jeweils \(\log\alpha\) zu schreiben.)
Nun macht man die Annahme \(\alpha,e^\alpha\in\overline{\mathbb Q}\) (bzw. \(\alpha,{\alpha}^\beta\in\overline{\mathbb Q}\), zusätzlich zu \(\beta\in\overline{\mathbb Q}\setminus {\mathbb Q}\)). Dann ist \(f^{(T)}(x_0\alpha)\in{\mathbb Z}[\alpha,e^\alpha]\) (bzw. \(f^{(T)}(x_0\log\alpha)\in{\mathbb Z}[\beta,\alpha,\alpha^\beta]\)) nach Schritt 3 “sehr klein”, aber nach Schritt 2 nicht Null. Den gewünschten Widerspruch gewinnt man mit einer Liouvilleabschätzung nach unten, sobald nur \(n\) groß gewählt wird.
Die Innovation dieser Beweismethode besteht also genau darin, daß hier eine Hilfsfunktion mit hoher Nullstellenordnung alleine an \(z=0\) genügt.
MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
PDF BibTeX XML Cite