×

zbMATH — the first resource for mathematics

On fast converging series of rational numbers. (Sur les séries de nombres rationnels à convergence rapide.) (French) Zbl 0940.11027
Für \(n = 0,1,\ldots\) gelte \(a_n, b_n\in{\mathbb Z}\setminus\{0\}\) und es sei \(\log|a_nb_n|= o(2^n)\) bei \(n\to\infty\); die Folge \((u_n)_{n\geq 0}\) positiver ganzer Zahlen konvergiere gegen \(+\infty\) und genüge der Bedingung \(u_{n+1}=\alpha u^2_n +O(u^\gamma_n)\) mit festem \(\alpha\in{\mathbb Q}_+\) und reellem \(\gamma\in[0,2[\). Unter diesen Voraussetzungen beweist Verf.: \(\beta := \sum^\infty_{n=0} a_n/(b_nu_n)\) ist genau dann rational, wenn \[ u_{n+1} = \alpha u^2_n - (a_{n+1}b_n/a_n b_{n+1})u_n+ (a_{n+2}b_{n+1})/(\alpha a_{n+1} b_{n+2}) \tag \(*\) \] für alle großen \(n\) gilt. Weiter zeigt er: Gilt \((\ast)\) für höchstens endlich viele \(n\) und ist \(\varepsilon\in{\mathbb R}_+\) beliebig, so existiert ein \(q_0(\varepsilon)\), so daß für alle \(p,q\in{\mathbb Z}\) mit \(|q|\geq q_0(\varepsilon)\) die Ungleichung \(|q\beta-p|\geq |q|^{-8/(\omega-1)-\varepsilon}\) mit \(\omega := \min(3-\gamma,2)\) gilt. Als Spezialfall der vorstehenden Ergebnisse erweist sich z.B. Folgerung 2 von J. Hančl [J. Théor. Nombres Bordx. 8, 275-282 (1996; Zbl 0870.11040)].

MSC:
11J72 Irrationality; linear independence over a field
11J82 Measures of irrationality and of transcendence
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI