Analyzing the characteristic map of triangular subdivision schemes. (English) Zbl 0948.65015

Umlauf, G.

Constructive Approximation 16, No. 1, 145-155 (2000).

Ausgehend von einem beliebigen Drei- oder Vierecksnetz \(C_0\) werden stationäre, lokale und lineare Unterteilungsalgorithmen betrachtet, die eine Folge von Netzen \(\{C_m\}^\infty_{m=0}\) definieren, die gegen eine Grenzfläche konvergieren. In den regulären Netzteilen werden Standard-Unterteilungsregeln für symmetrische Box-Splines verwendet. In der Umgebung nichtregulärer Netzecken werden speziell solche Unterteilungsregeln eingesetzt, die in zwei aufeinanderfolgenden Netze \(C_{m-1}\), \(C_m\) die Anzahl der nichtregulären Ecken invariant lassen. Insgesamt wird der Unterteilungsalgorithmus durch eine quadratische Matrix beschrieben.
Im Hinblick auf glatte Grenzflächen, für die bereits hinreichende Bedingungen existieren, werden die Spektraleigenschaften der Unterteilungsmatrix und die “charakteristische Karte” betrachtet. In Satz 4.2 wird eine hinreichende Bedingung dafür angegeben, dass die normierte charakteristische Karte eines symmetrischen Unterteilungsalgorithmus regulär und injektiv ist. Im Anschluß an die geleisteten Vorarbeiten wird der von C. Loop [Smooth subdivision surfaces based on triangles. Master’s thesis, Dept. of Math., Univ. of Utah (1987)] eingeführte Unterteilungsalgorithmus untersucht. Insbesondere wird gezeigt, dass der Loop-Algorithmus für fast jedes Ausgangs-Dreiecksnetz \(C_0\) eine \(C^1\)-Mannigfaltigkeit erzeugt.

Reviewer: O.Giering (München)

MSC:

65D17	Computer-aided design (modeling of curves and surfaces)
65D07	Numerical computation using splines

Keywords:

triangular subdivision; Loop’s algorithm; box splines; algorithm