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Number theory: an approach through history. From Hammurapi to Legendre. (Zahlentheorie. Ein Gang durch die Geschichte. Von Hammurapi bis Legendre. Aus dem Englischen von Herbert Pieper.) (German) Zbl 0956.11003
Basel: Birkhäuser. xviii, 392 S. (1992).
Das 1984 bei Birkhäuser erschienene Buch “Number theory: An approach through history; from Hammurapi to Legendre” von André Weil ist sicher eines der bemerkenswertesten Bücher über Zahlentheorie und ihre Geschichte (vgl. Zbl 0531.10001 für eine Besprechung der 1. Aufl.). Die vorliegende Übersetzung ins Deutsche, die von dem Zahlentheoretiker Herbert Pieper besorgt und ebenfalls von Birkhäuser herausgebracht wurde, ist nach Meinung des Referenten in jeder Hinsicht gelungen. Die Übersetzung ist sehr gut lesbar, die gefundenen Formulierungen wirken durchweg elegant und verlieren doch nicht die Verbindung zum englischen Originaltext.
Im Vorwort zu diesem Buch lesen wir: “… Obwohl dieses Buch etwa sechsundreißig Jahrhunderte arithmetischer Untersuchungen umfaßt, besteht sein Inhalt in nicht mehr als einem detaillierten Studium und seiner Erklärung der Errungenschaften von vier Mathematikers: Fermat, Euler, Lagrange, Legendre. Sie sind die Begründer der modernen Zahlentheorie. Die Größe von Gauß liegt darin, daß er das, was seine Vorgänger angefangen hatten, zum Abschluß brachte und eine neue Ära in der Geschichte dieses Gegenstands einleitete…”
Einen groben Überblick über den Inhalt des Buches geben die Überschriften der einzelnen Kapitel: I. Frühgeschichte, II. Fermat und seine Korrespondenten, III. Euler, IV. Ein Zeitalter des Übergangs: Lagrange und Legendre. Außerdem enthält das Buch eine Reihe von sorgfältig ausgewählten Illustrationen, ein Literaturverzeichnis, eine ergänzende Bibliographie sowie ein Personenverzeichnis. Besonders erwähnenswert sind die zahlreichen Anhänge zu den Kapiteln II, III und IV, in denen A. Weil Beweise für fundamentale Resultate der Zahlentheorie und der diophantischen Geometrie gibt und damit auch eine Brücke zu aktuellen Entwicklungen in diesen Gebieten schlägt. So enthält Kapitel II Anhänge über euklidische Zahlkörper, elliptische Kurven in projektiven Räumen, Fermats ‘doppelte Gleichungen’ als Raumkurven vierten Grades, den unendlichen Abstieg und den Satz von Mordell sowie über die Gleichung \(u^2= x^3- 2x\). Kapitel III wird ergänzt durch Anhänge über das quadratische Reziprozitätsgesetz, einen elementaren Beweis für Summen von vier Quadraten und über das Additionstheorem für elliptische Kurven. Die Anhänge von Kapitel IV geben Beweise für das Hasse-Prinzip für ternäre quadratische Formen, für einen Satz von Legendre über positive binäre quadratische Formen und für einen Satz von Lagrange über indefinite quadratische Formen.

MSC:
11-03 History of number theory
01A05 General histories, source books
01A45 History of mathematics in the 17th century
01A50 History of mathematics in the 18th century
01-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to history and biography
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
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