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Semi-stable representations and strongly divisible modules. (Représentations semi-stables et modules fortement divisibles.) (French) Zbl 0965.14021
From the introduction: On note \(k\) un corps parfait de caractéristique \(p>0\), \(W=W(k)\) les vecteurs de Witt, \(K_0=\text{Frac}(W)\), \(K\) une extension finie totalement ramifiée de \(K_0\) de degré \(e\), \({\mathcal O}_K\) les entiers de \(K\) et \( i\) une uniformisante fixée de \(K\). On désigne par \(\overline K\) une clôture algébrique de \(K\), d’entiers \({\mathcal O}_{\overline K}\) et de groupe de Galois \(G_K=\text{Gal}(\overline K/K)\). Dans cet article, nous démonstrons les deux théorèmes:
Théorème 1.1. Soit \(D\) un \((\varphi,N)\)-module filtré faiblement admissible de Fontaine, \(r\) sa longueur de filtration et supposons \(er<p-1\), alors \(D\) est admissible.
Théorème 1.2. Supposons \(e=1\) et soit \(V\) une représentation \(p\)-adique semi-stable de \(G_K\) à poids de Hodge-Tate entre 0 et \(r\) \((r\in\mathbb{N})\), alors les poids de l’inertie sur la semi-simplifiée modulo \(p\) de \(V\) sont aussi entre 0 et \(r\).
Ces théorèmes résultent d’une généralisation au cas \(e>1\) (et “semi-stable”) des résultats de J. M. Fontaine et G. Laffaille [Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., IV. Ser. 15, 547-608 (1982; Zbl 0579.14037)] et G. Lafaille [Bull. Soc. Math. Fr. 108, 187-206 (1980; Zbl 0453.14021)] \((e=1\) et situation “cristalline”), généralisation initiée par C. Breuil dans Math. Ann. 307, 191-224 (1997; Zbl 0883.11049) et Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., IV. Sér. 31, 281-327 (1998; Zbl 0907.14006). Plus précisément, soient \(u\) une indéterminée, \(S\) le complété \(p\)-adique de \(W[u,u^{ei}/i!]_{i \in\mathbb{N}^*}\) et \(S_{K_0}= K_0\otimes_WS\). Nous construisons une équivalence de catégories entre les \((\varphi,M)\)-modules filtrés \(D\) de J.-M. Fontaine [in: Périodes \(p\)-adiques, Sémin. 1988, Astérisque 223, 113-184 (1994; Zbl 0865.14009)] et une certaine catégorie de \((\varphi,N)\)-modules filtrés \({\mathcal D}\) sur \(S_{K_0}\). Pour \(e=1\), nous définissons une notion de \(S\)-module fortement divisible qui généralise celle introduite dans le Fontaine-Lafaille papier cité, conjecturons que, lorsque \(D\) est faiblement admissible avec les crans de sa filtration entre 0 et \(p-2\), on doit toujours pouvoir trouver un \(S\)-module fortement divisible dans le \(S_{K_0}\)-module \({\mathcal D}\) associé à \(D\) le Astérisque papier dans de l’A. et montrons cette conjecture en dimension 2. Dans le présent article, nous commençons par étendre la définition des modules fortement divisibles et certains résultants de l’A. [Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., (loc. cit.), au cas \(e>1\). – Puis nous montrons le théorème:
Théorème 1.3. Soit \(D\) un \((\varphi,N)\)-module filtré faiblement admissible tel que Fil\(^0(K \otimes_{K_0}D)= K\otimes_{K_0}D\) et Fil\(^{r+1} (K\otimes_{K_0}D)=0\) avec \(er< p=1\), alors \(S_{K_0} \otimes_{K_0}D\) contient un \(S\)-module fortement divisible.
D’où résultent donc (1.1) et (1.2).

MSC:
14L05 Formal groups, \(p\)-divisible groups
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
14G20 Local ground fields in algebraic geometry
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