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Introduction to algebraic independence theory. With contributions from F. Amoroso, D. Bertrand, W. D. Brownawell, G. Diaz, M. Laurent, Yu. V. Nesterenko, K. Nishioka, P. Philippon, G. Rémond, D. Roy, M. Waldschmidt. (English) Zbl 0966.11032

Lecture Notes in Mathematics. 1752. Berlin: Springer. xiii, 256 p. (2001).
Ce joli petit livre (environ 250 pages) est issu d’un cours donné à l’automne 1997 au CIRM (Luminy) pour des postdoctorants sous la direction de M. Waldschmidt, R. Tijdeman et Yu. Nesterenko. Prenant prétexte de la preuve par Yu. Nesterenko (1996) de l’indépendance algébrique de \(\pi\), \(e^\pi\) et \(\Gamma(1/4)\) (plus généralement de valeurs prises par les séries d’Eisenstein \(E_2(\tau)\), \(E_4(\tau)\), \(E_6(\tau)\) et l’exponentielle \(e^{2i\pi\tau})\), le livre expose en détails les techniques actuelles utilisées pour l’indépendance algébrique. Chaque chapitre est rédigé par un chercheur spécialiste de la question traitée.
Le livre se compose de quatre parties: après l’exposition des derniers résultats de transcendance obtenus pour les fonctions et formes modulaires (chapitres 1 à 4), une deuxième partie donne les notions nécessaires d’algèbre commutative (chapitres 5 à 9: théorie de l’élimination, théorème de Bézout, critères d’indépendance algébrique), la troisième partie présente des lemmes de zéros, les uns plus spécifiques aux fonction modulaires, les autres plus généraux (chapitres 10 et 11). Enfin la dernière partie (chapitres 12 à 16) développe des applications des outils présentés auparavant, retrouvant, en particulier, des résultats classiques et posant des questions ouvertes.
C’est un livre indispensable pour qui s’intéresse à l’indépendance algébrique.
Contents:
Ch. 1: \(\Theta(\tau,z)\) and transcendence (1–11) (Daniel Bertrand);
Ch. 2: Mahler’s conjecture and other transcendence Results (13–26) (Guy Diaz);
Ch. 3: Algebraic independence for values of Ramanujan functions (27-46) (Yu. V. Nesterenko);
Ch. 4: Some remarks on proofs of algebraic independence (47–51) (Patrice Philippon);
Ch. 5: Élimination multihomogène (53–81) (Guy Rémond);
Ch. 6: Diophantine geometry (83–94) (Patrice Philippon);
Ch. 7: Géométrie diophantienne multiprojective (95–131) (Guy Rémond);
Ch. 8: Criteria for algebraic independence (133–141) (Patrice Philippon);
Ch. 9: Upper bounds for (geometric) Hilbert functions (143–148) (Daniel Bertrand);
Ch. 10: Multiplicity estimates for solutions of algebraic differential equations (149–165) (Yu. V. Nesterenko);
Ch. 11: Zero estimates on commutative algebraic groups (167–185) (Damien Roy);
Ch. 12: Measures of algebraic independence for Mahler functions (187–197) (Ku. Nishioka);
Ch. 13: Algebraic Independence in algebraic groups. Part I: Small transcendence degrees (199–211) (Michel Laurent);
Ch. 14: Algebraic independence in algebraic groups. Part II: Large transcendence degrees (213–225) (Michel Waldschmidt);
Ch. 15: Some metric results in Transcendental Numbers Theory (227-237) (Francesco Amoroso);
Ch. 16: The Hilbert Nullstellensatz, inequalities for polynomials, and algebraic independence (239–248) (W. Dale Brownawell).
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11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11F03 Modular and automorphic functions
11J91 Transcendence theory of other special functions
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