×

zbMATH — the first resource for mathematics

Taylor approximation and cubic construction of \(\Gamma\)-modules. (Taylorapproximationen und kubische Konstruktionen von \(\Gamma\)-Moduln.) (German) Zbl 0967.55015
Bonner Mathematische Schriften. 332. Bonn: Univ. Bonn, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät, 119 S. (2000).
Zusammenfassung: Ziel dieser Arbeit ist es, konkrete Aussagen über die Approximationstheorie von Funktoren zu erhalten. Wie in der Differentialrechnung gibt es für Funktoren \(F\) eine Taylorreihe mit polynomialen Approximationsgliedern \(P_nF\). Goodwillie hat diese Taylorapproximation für Endofunktoren topologischer Räume bzw. simplizialer Mengen definiert, welche Homotopieäquivalenzen respektieren. Zu einem solchen Funktor \(F\) gibt es einen Taylorturm \[ \cdots\to P_{n+1}F\to P_nF\to\cdots\to P_1F\to P_0F, \] so daß die \(P_nF\) gegen \(F\) konvergieren und “vom Grad \(n\)” sind.
Wir betrachten solche Endofunktoren simplizialer Mengen, die von Funktoren stammen, die auf endlichen, punktierten Mengen definiert sind. Wir untersuchen \(\Gamma\)-Moduln, d.h. Funktoren \(F\) von der Kategorie der endlichen punktierten Mengen \(\Gamma\) in die Kategorie der \(R\)-Moduln für einen beliebigen kommutativen Ring \(R\) mit Eins. Solche Funktoren kann man zu Endofunktoren simplizialer Mengen umwandeln. Wir erhalten folgende explizite Beschreibung der Homologie der Approximationsschritte \(P_nF\) für einen \(\Gamma\)-Modul \(F\):
Theorem 4.2.3. \(H_*P_nF(\{0,1\})\cong\text{Tor}^\Gamma_*(t^n,F)\). Hierbei ist \(t^n\) ein Funktor vom Grad \(n\).
Auf Mengen mit mehreren Elementen leiten wir eine ähnliche Interpretation der Homologie als abgeleiteter Funktor her. Die Homologie der Homotopiefaser \(D_nF_*:=\text{cone}_{*+1}(P_nF\to P_{n-1}F)\) läßt sich ebenfalls als abgeleiteter Funktor beschreiben. Wir konstruieren eine Spektralsequenz, die gegen die Homologie der Homotopiefaser konvergiert und nutzen diese für einige konkrete Berechnungen.
Anwendungen der Taylorapproximation finden sich in der Berechnung von Hochschild-Homologie höherer Ordnung. Die Linearisierung eines bestimmten \(\Gamma\)-Moduls gibt eine Querverbindung zu einer Homologietheorie für \(E_\infty\)-Spektren/Algebren – der Gamma-Homologie: Für eine kommutative Algebra \(A\) ist die Gamma-Homologie von \(A\) mit Koeffizienten in einem \(A\)-Modul \(M\) die Homologie der ersten Taylorapproximation des Funktors, der eine \(n\)-elementige punktierte Menge auf \(M\otimes A^{\otimes n}\) abbildet. Mit den Methoden der Taylorapproximation gelingt es in 4.3.3, eine Formel für die Gamma-Homologie der Polynomalgebra \(\mathbb{F}_2[x]\) anzugeben und in 4.3.4 eine Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz zu entwickeln, die von André-Quillen-Homologie ausgeht und gegen Gamma-Homologie konvergiert. Die kubischen Konstruktionen von Eilenberg und MacLane \(Q_*(A)\) sind die Linearisierungen \(P_1(-)\) der \(\Gamma\)-Moduln \(\mathbb{Z}\{\overline A\{-\}\}\). Für einen Ring \(R\) ist \(Q_*(R)\) ein differentiell graduierter Ring. Diese Eigenschaft ist die Grundlage der Definition der MacLane-Homologie eines Ringes \(R\) als die Hochschild-Homologie der kubischen Konstruktion \(Q_*(R)\). Ein kommutativer Ring \(R\) liefert allerdings keine kommutative Multiplikation in \(Q_*(R)\), aber wir zeigen, daß in diesem Fall die Multiplikation bis auf höhere Homotopien kommutativ ist:
Theorem 6.4.4. Für einen kommutativen Ring \(R\) ist die kubische Konstruktion \(Q_*(R)\) eine \(E_\infty\)-Algebra.
Dieses Ergebnis dehnen wir auf die höheren Approximationen aus: Die \(n\)-te kubische Konstruktion \(Q_*^n(R):=P_n\mathbb{Z}\{\overline R\{-\}\}[1]\) eines kommutativen Ringes ist ebenfalls eine \(E_\infty\)-Algebra. Die Homologie von \(\mathbb{F}_2\otimes Q_*(\mathbb{F}_2)\) ist das Duale der Steenrod-Algebra. Analog zu dieser fungieren die Homologiegruppen der höheren kubischen Konstruktionen als Homologieoperationen: Sie operieren auf den kubischen Konstruktionen von Endofunktoren auf Modulkategorien und operieren auf der Homologie von Funktoren aus einer Modulkategorie in die Kategorie der Kettenkomplexe, falls diese Funktoren homologisch vom Grad \(n\) sind.

MSC:
55U99 Applied homological algebra and category theory in algebraic topology
18G99 Homological algebra in category theory, derived categories and functors
55U10 Simplicial sets and complexes in algebraic topology
18G10 Resolutions; derived functors (category-theoretic aspects)
18G30 Simplicial sets; simplicial objects in a category (MSC2010)
55N35 Other homology theories in algebraic topology
13D03 (Co)homology of commutative rings and algebras (e.g., Hochschild, André-Quillen, cyclic, dihedral, etc.)
13D07 Homological functors on modules of commutative rings (Tor, Ext, etc.)
PDF BibTeX XML Cite