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Modeling, simulation and control of networks of vibrating beams using dynamical domain decomposition. (Modellierung, Simulation und Steuerung von Netzwerken schwingender Balken mittels dynamischer Bereichszerlegung.) (German) Zbl 0973.74002

Bayreuth: Mathematisches Institut der Univ. Bayreuth, 199 S. (2000).
Die vorliegende Schrift beinhaltet die Dissertation des Verfassers, welche sich mit der Beschreibung und Analyse eines speziellen elastodynamischen Problems beschäftigt. Als mechanisches Modell liegt ein aus geraden Balkenstücken bestehendes Netzwerk aus Hookeschem Material zugrunde, das durch die Euler-Bernoulli-Rayleigh Balkentheorie unter Annahme kleiner Torsionen und Axialverschiebungen sowie “großer” Querverschiebungen beschrieben wird und die nichtlineare Theorie kennzeichnet. Daneben wird ein lineares Modell betrachtet, bei dem die Axialverschiebungen vernachlässigt und die Querverschiebungen als klein angenommen werden.
Das Anfangs-Randwertproblem wird sowohl allgemein als auch für Spezialfälle (insbesondere für das ebene nichtlineare und das räumliche lineare Netzwerk) formuliert (Kapitel 1). Hierfür erfolgt der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung mittels der Halbgruppentheorie (Kapitel 2). Insbesondere wird der nichtlineare ebene Stufenbalken analysiert. Kapitel 3 ist der numerischen Simulation des transienten Verhaltens von Netzwerken, die durch gekoppelte partielle Differentialgleichungen beschrieben werden, gewidmet. Dabei werden zunächst die Lösungen für die einzelnen Balkenabschnitte ermittelt, und erst dann die Übergangsbedingungen an den einzelnen Knoten iterativ erzwungen. Das verwendete dynamische Bereichszerlegungsverfahren, dessen Konvergenz bewiesen wird, beruht auf der Stationarität eines erweiterten Lagrange Funktionals. Numerische, in Ergebnisdiagrammen dokumentierte Beispiele betreffen den statisch belasteten bzw. schwingenden Kragbalken sowie den abgewinkelten Kragbalken und das eingespannte Dreibein bzw. Vierbein. Kapitel 4 befasst sich mit der gezielten Beeinflussung des dynamischen Verhaltens von Balken-Netzwerken durch Steuerungen mittels Knotenkräfte und/oder Knotenverschiebungen, wobei die Vorgehensweise anhand einiger Beispiele illustriert wird. Im Anhang finden sich ergänzende Ausführungen über dissipative Operatoren sowie Eigenfrequenzen und Eigenformen des Rayleigh-Balkens.
Verfasser erörtert eingehend die bestehende relevante Literatur und weist auf noch offene Probleme hin. Das Buch ist insbesondere für angewandte Mathematiker und auf dem Gebiet der Strukturdynamik tätige Ingenieure von Interesse.

MSC:

74-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to mechanics of deformable solids
74H45 Vibrations in dynamical problems in solid mechanics
74K10 Rods (beams, columns, shafts, arches, rings, etc.)
74H15 Numerical approximation of solutions of dynamical problems in solid mechanics
74H20 Existence of solutions of dynamical problems in solid mechanics
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