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Equisingularity in germ bundles of plane curves and \(C^0\)-sufficiency. (Équisingularité dans les pinceaux de germes de courbes planes et \(C^0\)-suffisance.) (French) Zbl 0982.32025
De l’introduction: Soient \(f_0\) et \(f_1\) deux germes de fonction holomorphe a l’origine de \(\mathbb{C}^2\). On suppose que les deux germes s’annulent à l’origine et sont à singularité isoleé. Traditionnellement on dit que \(f_0\) et \(f_1\) sont topologiquement équivalents s’il existe un germe d’homeomorphisme \(\Phi: (\mathbb{C}^2,0)\to (\mathbb{C}^2,0)\) de degré +1, tel que l’on ait \(f_0\circ \Phi=f_1.\)
On peut démontrer que les deux germes sont topologiquement équivalents si et seulement si les entrelacs orientés qui leur sont associés dans une petite sphère de Milnor sont isotopes…
Soient maintenant \(h_1= 0\) et \(h_2 = 0\) deux germes de courbes planes s’annulant à l’origine, sans branche commune. La famille de germes de courbes planes \(w_2 h_1-w_1h_2= 0\) avec \(w = (w_1:w_2)\in {\mathbf P}^1\) est par définition le pinceau de germes de courbes planes engendré par \(h_1\) et \(h_2\). Un cas particulier d’un théorème général sur les déformations (dû à O. Zariski) affirme qu’il existe un ouvert de Zariski non vide \(\Omega\subset {\mathbf P^1}\) tel que les elements correspondants du pinceau ont tous la même topologie. L’ouvert maximal ayant cette propriété s’appelle l’ouvert d’équisingularité du pinceau, tandis que son complémentaire est l’ensemble (fini) des valeurs spéciales.
Dans la première partie de ce travail, nous énonçons et démontrons un théorème (théorème 4.1) qui caractérise explicitement l’ensemble des valeurs spéciales en fonction de la résolution minimale du pinceau. Nous décrivons la resolution minimale au paragraphe 2 et parlons des valeurs génériques au paragraphe 3. La preuve du théorème (en fait sa partie la plus facile) permet de déterminer explicitement la topologie d’un membre générique du pinceau en fonction de la topologie (colorée) de l’entrelacs associé à \(h_1h_2=0\). Voir la remarque à la fin du § 3.
La deuxième partie de ce travail (basée sur la première) est consacrée au degré de \(C^0\)-suffisance d’un germe de courbe plane.

MSC:
32S15 Equisingularity (topological and analytic)
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