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Transcendental infinite sums. (English) Zbl 0991.11043

Aus den Hauptergebnisse seien die folgenden ausgewählt, um einen Eindruck von der vorliegenden Arbeit zu vermitteln. Sei zunächst \(f: {\mathbb Z} \to\overline{\mathbb Q}\) periodisch mod \(q\). Konvergiert \(S := \sum_{n\geq 1} f(n)/n\), so ist \(S\not\in \overline{\mathbb Q} \setminus\{0\} =: \overline{\mathbb Q}^\times\) (und hier kann \(S = 0\) durchaus eintreten). Insbesondere ist \(L(1,\chi)\) für jeden Dirichlet-Charakter \(\chi(\not=\chi_0)\bmod q\geq 3\) transzendent. Allgemeiner gilt, wenn \(Q\in{\mathbb Q}[X]\) nur einfache Nullstellen hat und diese in \({\mathbb Q}\setminus{\mathbb N}_0\) liegen: Konvergiert \(S :=\sum_{n\geq 0} f(n)/Q(n)\), so ist \(S\) entweder eine effektiv angebbare algebraische Zahl oder transzendent.
In allem Weiteren habe \(Q\in{\mathbb Q}[X]\) höchstens einfache Nullstellen und diese seien in \({\mathbb Q} \cap [-1,0[\) gelegen. Dann gilt: Ist \(f\) wie oben und konvergiert \(S := \sum_{n\geq 0} f(n)/Q(n)\), so hat man \(S\not\in\overline{\mathbb Q}^\times\). Ein anderes Resultat lautet so: Ist \(P\in\overline{\mathbb Q}[X]\) und konvergiert \(S := \sum_{n\geq 0} P(n)/Q(n)\), so gilt \(S\not\in\overline{\mathbb Q}^\times\). Beispielsweise ist die Reihe \(\sum_{n\geq 0} 1/((3n+1)(3n+2)(3n+3))\) transzendent.
Schließlich noch ein analoges Resultat, in dem \(P\) durch ein“Exponentialpolynom” ersetzt wird: Ist \(g(X) := \sum_{\lambda=1}^\ell P_\lambda(X)\alpha_\lambda^X\) mit \(\alpha_\lambda\in\overline{\mathbb Q}\), \(P_\lambda\in\overline{\mathbb Q}[X]\) für alle \(\lambda = 1,\ldots,\ell\) und konvergiert \(S := \sum_{n\geq 0} g(n)/Q(n)\), so gilt wieder \(S\not\in\overline{\mathbb Q}^\times\). Insbesondere ist \(\sum_{n\geq 1} F_n/(2^n n)\) transzendent, wobei \(F_n\) die \(n\)-te Fibonacci-Zahl bedeutet.
Ist eine Zahl \(S\) aufgrund der vorstehenden Sätze transzendent, so läßt sich für \(S\) auch ein Approximationsmaß angeben. Dies liegt daran, daß für die zitierten qualitativen Aussagen einer der frühesten Baker-Sätze über inhomogene Linearformen in Logarithmen algebraischer Zahlen mit algebraischen Koeffizienten verwendet wird, und dessen quantitative Fassung von M. Waldschmidt [Acta Arith. 37, 257-283 (1980; Zbl 0439.10020)] für die quantitativen Aussagen.

MSC:

11J81 Transcendence (general theory)
11J86 Linear forms in logarithms; Baker’s method
11J82 Measures of irrationality and of transcendence

Citations:

Zbl 0439.10020
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