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Ueber rationale Functionen von \(n\) Elementen und die allgemeine Theorie der algebraischen Gleichungen. (German) JFM 10.0050.01

Der Herr Verfasser bildet aus den Permutationen, welche die Werthe \(V_1,V_2, \dots V_r\) einer Function \(V\) bei Anwendung der Gruppe \(G\) erfahren, eine Gruppe \(\Gamma\), welche \(G\) isomorf ist; findet, dass die Untergruppe \(H\) in \(G\), welche der Substitution 1 in \(\Gamma\) entspricht, zu \(G\) vertauschbar ist; wendet den Satz an, dass eine Gruppe \(H\), welche zu allen möglichen Substitutionen vertauschbar ist, die Ordnung \(\frac{n!}2\) oder \(n!\) hat und folgert daraus unmittelbar, eine Function \(V\) von weniger als \(n\) Werthen könne nur ein- oder zweiwerthig sein (Vgl. auch: Kronecker, Berl. B. 1879: 211 und die Anmerkung in Borchardt J. LXXVIII. 87). Die Anwendung isomorfer Gruppen führt ebenso zu dem Satze über \(n\)-werthige Functionen von \(n\) Elementen. Im zweiten Theile der Arbeit zeigt der Herr Verfasser den Zusammenhang der Gleichung \(f(x)=0\) mit ihrer Galois’schen Resolvente \(F(V)=0\); die Reduction der letzteren durch Adjunction einer Function oder aller Wurzeln einer Hülfsgleichung und leitet einfach und kurz das Galois’sche Kriterium für die algebraischen Auflösbarkeit von \(f\) und die Specialsätze über Gleichungen vom Primzahl-Grade ab.
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