×

zbMATH — the first resource for mathematics

Ueber die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. (German) JFM 10.0066.01
Im ersten Abschnitte seiner Arbeit beschäftigt sich der Herr Verfasser mit den Multiplicatorgleichungen bei der Transformation der elliptischen Functionen und zwar speciell mit dem Umstande, dass zwischen den Quadratwurzeln ihrer \(n+1\) Wurzeln \[ z, \,z_m \,(m=0, \,1, \dots n-1) \] \(\frac{n+1}{2}\) lineare Relationen bestehen, mit deren Hülfe gefunden wird \[ \text{(1)} \quad \begin{cases} \sqrt{z} = a_0 \sqrt{{(-1)}^\frac{n-1}{2}n}, \\ \sqrt{z_m} = a_9 +\varepsilon^m a_1 +\varepsilon_{4m} a_2 +\dots + \varepsilon^{{(\frac{n-1}{2})}^2m} a_{\frac{n-1}{2}}, \, \left(\varepsilon = e^{\frac{2\pi i}{n}} \right). \end{cases} \] Da die Relationen linear sind, so findet sich ähnliche auch zwischen den nach dem Modul \(k\) genommenen Differentialquotienten gleichen Ordnungen. Wegen der Differentialgleichung \(\frac{n+1}{2} ^{\text{ter}}\) Ordnung, welcher die Quadratwurzel des Multiplicators genügt, erhält man nur \(\frac{n-1}{2}\) neue Reihen von Functionen derselben Eigenschaft wie \(\surd z, \,\surd z_m\) und durch eine lineare Verbindung derselben mit den ursprünglichen die allgemeinste Function dieser Art, welche \(\frac{n+1}{2}\) Parameter, oder vielmehr nur die \(\frac{n-1}{2}\) Verhältnisse derselben willkürlich enthält. Gleichungen, zwischen deren Wurzeln Beziehungen (1) bestehen, nennt Herr Brioschi “Jacobi’sche Gleichungen” und er rechnet zu denselben auch die von Herrn Kronecker angegebenen, mit den Relationen \[ (1') \quad \begin{cases} \sqrt{z} = -a_0 \sqrt{{(-1)}^\frac{n-1}{2}n}, \\ \sqrt{z_m} = a_9 +\varepsilon^m a_1 +\varepsilon_{4m} a_2 +\dots + \varepsilon^{{(\frac{n-1}{2})}^2m} a_{\frac{n-1}{2}}. \end{cases} \] Mit den allgemeinen Jacobi’schen Gleichungen \(5^{\text{ten}}\) Grades beschäftigt sich der zweite Abschnitt. Ihre Form ist \[ \text{(2)} \quad (z-a)^6 -4a(z-a)^5 +10b(z-a)^3 -4c(z-a) +5b^2 -4ac =0, \] wo die \(a,\, b, \,c\) ganze Functionen von \(a_0, \,a_1,\, a_2\) sind. Um hier allgemeine Functionen zu bilden, werden, da die Grösse \(k\) zurücktritt, die nach \(a_0, \, a_1,\, a_2\) genommenen Differerntialquotienten betrachtet und mit ihrer Hilfe kann \[ \surd Z=p\surd z+q\surd z' +r\surd z'' \] bestimmt werden wo \(\surd z', \, \surd z''\) ganze ungrade Functionen von \(\surd z\) sind, und \(p:q:r\) zwei willkürliche Parameter einführt. \(\surd Z\) ist der allgemeinste Ausdruck für die Wurzel einer Jacobi’schen Gleichung; \(Z\) wird eine Function \(5^{\text{ten}}\) Grades in \(z\), deren Coefficienten in \(p,\, q,\, r\) quadratisch sind; der von \(z^5\) z. B. ist \(pr-q^2\). Die Coefficienten \(A,\, B,\, C\) der Gleichung für \(Z\), welche der (2) entspricht, werden \(p,\, q,\, r\) ausgedrückt; \(A\) wird quadratische Form derselben, so dass, wenn diese gleich Null gesetzt wird, die transformirte Gleichung für \(Z\) die Gestalt annimmt \[ \text{(3)} \quad Z^6 +10BZ^3 -4CZ +5B^2 =0; \] trifft man über \(p,\, q,\, r\) die zweite Verfügung, dass \(pr-q^2=0\) sei, so ist \(Z\) eine Function \(4^{\text{ten}}\) Grades in \(z\), also umgekehrt \(z\) die Wurzel einer Gleichung \(4^{\text{ten}}\) mit rationalen Coefficienten in \(Z\). Es geht aber (2) für \[ Z= Y\root 3 \of{B}, \quad \frac{C^3}{B^5}= -\frac{(1-16k^2k^{\prime 2})^2} {4k^2k^{\prime 2}} \] in die Transformationsgleichung \(5^{\text{ten}}\) Ordnung der elliptischen Functionen über, deren Wurzeln \[ {\left[ \sqrt{\frac{\lambda\mu}{k}} +\sqrt{\frac{\lambda'\mu}{k'}}\right]}^2 \] sind; folglich ist (3) und wegen der oben angegebenen Transformation auch (2) durch elliptische Functionen lösbar. Setzt man \[ \zeta = \alpha + \frac1{z-a}, \, \alpha= \frac c{5b^2-4ac}, \] \[ \beta = \frac {b}{5b^2-4ac}, \, \gamma = \frac {a}{5b^2-4ac}, \] so genügt \(\zeta\) einer Gleichung (2) mit den Relationen (1’). Auch \(\surd\zeta\) ist eine ganze, ungrade Function von \(\surd z\); den \(\surd z', \, \surd z''\) entsprechen hier \(\surd \zeta', \, \surd\zeta''\).
Der dritte Abschnitt behandelt die von Galois angegebene, von Hermite durchgeführte Erniedrigung der Jacobi’schen Gleichung (2) auf eine Gleichung fünften Grades und damit die Lösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades. Die Grössen \[ \text{(4)} \quad y_{\nu} =-\frac {1} {\root 4 \of{5}}\;[(z-z_{\nu}) (z_{\nu+2}-z_{\nu+3}) (z_{\nu+4}-z_{\nu+1})]^\frac 12 \, (\nu=0,1,\dots 4) \] genügen nämlich der Gleichung \[ \text{(5)} \quad y^5 +10by^3 +5(9b^2-4ac)y -8\sqrt{-h} =0, \] wo das letzte Glied die vierte Wurzel der Discriminante von (2) ist. Durch (2) ist mittels (4) auch (5) gelöst; andrerseits geht durch die Jerrard’sche Transformation die allgemeine Gleichung fünften Grades in (5) mit \(b=0\) über; folglich ist auch die allgemeine Gleichung fünften Grades dadurch gelöst. Die bei der Jerrard’schen Form nöthigen Hülfsgleichungen können vermieden werden; man gestaltet die allgemeine Gleichung auf die von Hermite angegebene Art um (Borchardt J. 59, 304); die Summen der ersten und der dritten Potenzen der als Wurzeln zu Grunde gelegten Functionen verschwindet, so dass die neue Gleichung direct mit (5) identificirt werden kann. Herr Brioschi vervollständigt die Hermite’schen Untersuchungen durch wirkliche Bestimmung der Coefficienten für die reducirte Gleichung.
Es folgt im vierten Abschnitte eine gedrängte Auseinandersetzung der analytischen Behandlung von Substitutionsgruppen, und an diese schliesst sich die Ableitung der Malfatti’schen Resolvente \(6^{\text{ten}}\) Grades für \(y^5+ \alpha y^3 +\beta y +\gamma =)\), sowie die Angabe derjenigen Function der Wurzeln von (2), durch welche jene Resolvente und dadurch wiederum die Gleichung fünften Grades gelöst wird.
Die bisher behandelten Lösungen beruhten auf Transformation von (2); der fünfte Abschnitt giebt die Resultate der Kronecker’schen Untersuchungen, durch welche (2) selbst als Resolvente im weiteren Sinne einer allgemeinen Gleichung fünften Grades erkannt wird. Bedeutet nämlich (012345) eine cyklische Function der Wurzeln und ist für \(\alpha =0,1,2,3,4\) \[ \begin{aligned} & u=(01234)-(04321); \\ & u_{\alpha} =(\alpha,3+\alpha,4+\alpha,1+\alpha,2+\alpha) - (\alpha, 2+\alpha, 1+\alpha, 4+\alpha , 3+\alpha); \\ & U=tu+ t_0u_0 + cdots + t_4u_4; \\ & U_{\alpha}= tu_{\alpha} +t_0u -t_1u_{1+\alpha} + t_2u_{3+\alpha} +t_3u_{2+\alpha} -t_4u_{4+\alpha}; \end{aligned} \] wobei alle Zahlen \(m+\alpha\) auf ihre Reste mod. 5 zu reduciren sind, dann sind die symmetrischen Functionen von \(U^2,\, U_{\alpha}^2\) zweiwerthige Functionen der Wurzeln und also durch die Coefficienten und die Wurzel aus der Discriminante ausdrückbar; für \(t=\pm k\surd5, \, t_{\alpha}=k\) erfüllen die \(U\) gleichzeitig die Gleichungen (1), (1’), sind also Wurzeln von (2), wobei \(a,\, b, \, c\) rational in den Coefficienten und der Quadratwurzel aus der Discriminante sind. So hat man also (2) als Resolvente, in so fern die Kenntniss aller Werthe einer cyklischen Function die Kenntniss der fünf Wurzeln auf rationalem Wege nach sich zieht.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML