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Ueber die Transformation der elliptischen Functionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades. (German) JFM 10.0069.01

Bedeutet \(f(x)\) die im Differential des elliptischen Integrals auftretende, biquadratische, binäre Form; sind \(g_2,\,g_3\) ihre Invarianten; ist \(\varDelta\) ihre Discriminante; \(\sigma\) eins der Doppelverhältnisse der Wurzeln von \(f=0\), so wird \(J=g_2^3:\varDelta\) als absolute Invariante und \(\omega=\omega_1:\omega_2\), das Verhältniss der Perioden als transcendente Invariante eingeführt und die Aufgabe gestellt, dass Functionalverhältniss von \(\omega\) und \(J\) zu untersuchen. Die Riemann’sche Fläche, welche \(\omega\) auf \(\sigma(=\varkappa^2)\) abbilden würde, wäre unendlich vielblättrig; sie zerfällt in unendlich viele, aus Kreisbogen gebildete Dreiecke, deren jeder einer Halbebene für \(\sigma\) entspricht. Da ferner \[ J =\frac{4}{27} \frac{(1-\sigma+\sigma^2)^3}{\sigma^2 \cdot(1-\sigma)^2} \] ist, so erhält man sofort auch die entsprechende conforme Abbildung von \(J\) auf \(\omega\). Die Dreiecke stossen in Punkte \(\omega\) zusammen, welche den Werthen \(J=0,1, \infty\) angehören und zwar bezüglich in je \(6,4,\infty\) solcher Dreiecke, d. h. in je \(3,2,\infty\) der Gesammtebenen von \(J\). Hieraus erkennt man gleichzeitig, wann bei der Substitution \[ \omega' =\frac{\alpha\omega +\beta}{\gamma\omega +\delta},\quad (\alpha\delta -\beta\gamma=1) \] Elemente fest bleiben können: bei elliptischen Substitutionen, d. h. solchen mit conjugirt imaginären fest bleibenden Elementen ist \[ J=0(g_2=0) \quad \text{oder} \quad J=1(g_1=0); \] bei parabolischen, d. h. reell zusammenfallenden fest bleibenden Elementen ist \(J=\infty\), \(\varDelta=0\), \(\omega\) beliebig rational; bei hyperbolischen d. h. reell verschiedenen fest bleibenden Elementen ist die Periode unendlich gross und niemals rational.
Ist \(\varphi(J',J_x)=0\) die Gleichung, welche die absoluten Invarianten zweier elliptischer Integrale mit eineander verbindet, die durch eine Primzahltransformation \(n^{\text{ter}}\) Ordnung aus einander hervorgehen, und setzt man das Geschlecht von \(\varphi\) gleich Null voraus, so können Verzweigungen von \(J'\) in Bezug \(J\) nur bei \(j=0,1, \infty\) stattfindet, der Art, dass bei \(J=0,1\) beliebig oft je 3, resp. 2 Blätter zusammenhängen, während bei \(J=\infty\) die Verzweigung beliebig ist. Aus der Beziehung zwischen den zu \(J\) und \(J'\) gehörigen Perioden folgt dann, dass für \(n=6\mu +5\) bei \(J=0\) die \(n+1\) Blätter der auf \(J'\) bezüglichen Riemann’schen Fläche zu 3 und 3 cyklisch zusammenhängen, dass für \(n=6\mu+1\) bei \(J=0\) nur \(n-1\) in dieser Art zusammenhängen, während 2 isolirt verlaufen; dass bei \(J=1\) für \(n=4\mu+3\) alle Blätter paarweise zusammenhängen, während für \(n=4\mu+1\) zwei Blätter isolirt bleiben; dass für \(J=\infty\) die Werthe von \(J'\) auch \(\infty\) sind und dass \(n\) derselben cyklisch zusammenhängen, während eins isolirt verläuft. Hieraus ist der Werth von \(p\) ableitbar; man findet ihn für \(n=2,3,4,5,7,13\) gleich Null. Nach der Feststellung der Verzweigungsstellen von \(J'\) handelt es sich um die Entscheidung, wie dieselben durch Verzweigungsschnitte zu verbinden sind, d. h. wie die \(2(n+1)\) Kreisbogendreiecke, welche das Gebeit für \(J\) und \(J'\) auf der Ebene \(\omega\) bilden, in ihren Kanten zusammenhängen. Man gelangt dabei zu einer Riemann’schen Fläche, welche, statt \(n+1\)-blättrig über der \(J\) Ebene ausgebreitet zu sein, frei im Raume liegend, in \(2(n+2)\) Theile zerfällt, deren jeder einer Halbebene entspricht. Statt der Verzweigungspunkte die Ecken jener Theil auf, in denen die entsprechende Zahl von Dreiecken zusammenstösst. Die Transformationsgleichungen werden in einfachster Weise dadurch aufgestellt, dass \(J\) und \(J'\) durch diejenige Variable \(\tau\) rational dargestellt werden, welche in der Riemann’schen Fläche jeden Werth nur einmal annimmt oder vielmehr, dass \(J\) durch \(\tau\) dargestellt wird, dass dann \(J'\) durch dieselbe Form einer Variabeln \(\tau'\) ausgedrückt und endlich die bilineare Beziehung zwischen \(\tau\) und \(\tau'\) ermittellt wird. Die Lösung der aufgestellten Gleichungen durch elliptischen Modulfunctionen ist natürilich zu ermöglichen: sie erfolgt durch die Erkenntnis, dass der bei der Transformation auftretende Multiplication \(M\) durch eine Relation \(\tau=aM^{\lambda}\) mit \(\tau\) zusammenhängt, wobei \(a\) ein Zahlenfactor, \(\lambda\) das kleinste ganzzahlige Multiplum von \(\frac{n-1}{12}\) ist.
Beachtet man, dass für eine Gleichung \(\varphi(s,z)=0\), vom Geschlechte 0, eine einfachste Function \(\eta\) gefunden werden kann, für welche \(R(\eta)=z\) ist und ferner, dass bei einer Galois’schen Resolvente \(\varphi\) jede Wurzel rational durch jede anderer und den Parameter \(z\) darstellbar ist, dass daher bei einer Galois’schen Resolvente mit \(p=0\), jede Wurzel \(\eta_i\) rational durch \(\eta_k\) und umgekehrt ausdrückbar, ihre Beziehung als eine bilineare sein muss, so folgt, dass diese Resolventen lineare Transformationen in sich haben. Es ergeben sich \(\eta^n=z\); \(\eta^n +\eta^{-n}=z\), ferner die Tetraeder-, Oktaeder- Ikosaedergleichung als Gleichungen mit inearen Transformationen in sich, und \[ \eta^3=J, \quad \eta^2=J-1, \quad \eta^3+\eta^{-3} =(2J-4):J, \] nebst den 3 letzteren Gleichungen als solche, welche durch elliptische Functionen lösbar sind. Es muss für \(p=0\) der Werth von \(n=2,3,4,5\) sein, und für diese Fälle wird \(\tau\) explicit durch das Doppelverhältniss \(\sigma\) resp. die Tetraeder- Oktaeder, Ikosaederirrationalität ausgedrückt.
Anknüpfend an die Thatsache, dass für eine Primzahl \(n\) die Gleichungen zwischen \(\sigma=\varkappa^2\) und \(\sigma'=\varkappa^2\) vom \(n+1^{\text{ten}}\) Grade sind, kann man nach den algebraischen Funcitonen von \(J, \, J'\) fragen, welche ebenfalls zu Transformationsgleichungen \(n+1^{\text{ten}}\) Grades Anlass geben. Diese Frage wird nicht allgemein gelöst, doch wird gezeigt, dass für alle von 5 verschiedenen Primzahlen \(n\) die Ikosaederirrationalität \(\eta\), welche durch \(12^3\). \(\frac{H^3 \eta}{f^5 \eta}=J\) definirt wird, den nothwendigen Bedingungen genügt; ist \(\zeta\) die entsprechende Grösse, so sind die Transformationen, welche den 60 Ikosaedersubstitutionen für \(\eta\) entsprechen, für \(\zeta\) entweder mit jenen identisch, falls \(n\) quadratischer Rest mod. 5 ist, oder aus ihnen abzuleiten, indem man \(\varepsilon^2\) durch \(\epsilon\) ersetzt, falls \(n\) Nichtrest ist. Für \(n=2,3\) folgen die Gleichungen aus den Resultaten der Arbeit des Herrn Gordan (Vergl. d. Referat s. 65, JFM 10.0065.01). Hinsichtlicht der Jerrard’schen und Hermite’schen Form der Gleichungen fünften Grades knüpft Herr F. Klein an die Resultate seiner früheren Arbeit (Clebsch Ann. XII.; Vgl. F. d. M. IX. 64-68, JFM 09.0064.01) an und giebt ihre Beziehungen zu der daselbst behandelten Fläche zweiten Grades \(\Psi=0\), deren Gleichung \(\sum y^2=0\) war. Es folgt endlich eine Untersuchung über die Beziehungen, in denen die verschiedenen Lösungen der Gleichungen fünften Grades stehen; erwähnt sei hier nur die Bemerkung, dass die Einführung von \(J\) statt \(\sigma=\varkappa^2\) bei der Hermite’schen Lösung die cubische Hülfsgleichung überflüssig macht, da letztere lediglich ein Aequivalent für den Uebergang von \(J\) zu \(\sigma\) bildet.

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References:

[1] Siehe z. B. eine Note:Ueber Gleichungen siebenten Grades, die ich am 4. März 1878 der Erlanger Societät vorlegte.
[2] Amtlicher Bericht, p. 104.
[3] Vergl. z. B. Clebsch, Theorie der binären algebraischen Formen, p. 170.–Uebrigens werde ich solche Formeln später immer in der Art zusammenfassen, dass ich schreibe: $$J:J - 1:1(1 - \(\backslash\)sigma + \(\backslash\)sigma \^2 )\^3 :(1 + \(\backslash\)sigma )\^2 (2 - \(\backslash\)sigma )\^2 (1 - 2\(\backslash\)sigma )\^2 :27\(\backslash\)sigma \^2 (1 - \(\backslash\)sigma )\^2 .$$
[4] Vergl. die Darstellung bei F. Müller, Schlömilch’s Zeitschrift, XVIII, p. 280.
[5] Siehe Schwarz in Borchardt’s Journal Bd. 75, p. 319.
[6] Vergl. die Abhandlung von Schwarz in Borchardt’s Journal Bd. 75.
[7] Dorpater Festschrift:Ueber die Perioden der elliptischen Integrule erster und zweiter Gattung. 1875. Hr. Bruns beschränkt sich auf die Betrachtung des Integrals $$\(\backslash\)int {\(\backslash\)frac{{dx}}{{V + x\^3 - g_2 x - g_3 }}} $$ und giebt den hypergeometrischen Reihen eine etwas andere Form.
[8] Genau ebenso bestimmt man alle transcendenten Functionen vonJ, welche sich durch Modulfunctionen darstellen lassen. Zugleich erledigt man das Problem:Alle Untergruppen aufzustellen, welche in der Gesammtheit der Substitutionen $$\(\backslash\)omega = \(\backslash\)frac{{\(\backslash\)alpha \(\backslash\)omega + \(\backslash\)beta }}{{\(\backslash\)gamma \(\backslash\)omega + \(\backslash\)sigma }}, (\(\backslash\)alpha \(\backslash\)delta - \(\backslash\)beta \(\backslash\)gamma = 1)$$ enthalten sind.
[9] De transformatione functionum ellipticarum, Berlin 1867. Vergl. auch die spätere Veröffentlichung:Ueber die Transformation vierten Grudes der elliptischen Functionen, Berlin, Programm der Realschule, 1872.
[10] Sur une formule de transformation des fonctions elliptiques, Comptes Rendus79, p. 1065 (1874), und 80, p. 261 (1875).
[11] Etwas Aehnliches scheint Hr. Dedekind zu beabsichtigen; vergl. den Schlussparagraphen seiner Arbeit.
[12] Comptes rendus 1858, 6. Juni.
[13] Siehe Brioschi’s Darstellung im 13. Annalenbande.
[14] In der That ist das Geshlecht von (17) gleich 4. Uebrigens kann (17), wie oben angegeben [Abschn. III. p. 159], direct durch hypergeometrische Reihen gelöst werden.
[15] Die Gesichtspunkte, welche Kronecker in seiner zweiten Arbeit über Gleichungen fünften Grades angedeutet hat (Berliner Monatsberichte 1861, Borchardt’s Journal Bd. 59), zielen nach anderer Richtung.
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