Dissertation on the elimination. (Mémoire sur l’élimination.) (French) JFM 10.0098.04

Lemonnier, H.

Ann. de l’Éc. N. (2) VII, 77-100 (1878); VII, 151-214 (1878).

Diese Abhandlung zerfällt in der Theile. Im ersten giebt der Verfasser eine äusserst sorgfältige und ausführliche Darstellung der verschiedenen von Sylvester, Bezuot, Cauchy gegebenen Methoden zur Herstellung der Bedingungen dafür, dass zwei Gleichungen mit einer Unbekannten eine oder mehrere Wurzeln gemein haben, und der Gleichung, welche diese gemeinsamen Wurzeln giebt. Er zeigt die nahe Beziehung, welche zwischen diesen Methoden besteht, indem die Gleichung, welche bei einer angewandt sind, lineare Combinationen der Gleichungen der anderen sind, und stellt eine einfache praktische Regel auf, um die gesuchten Bedingungen und den gemeinsamen Theiler in Determinantenform zu bilden. Im zweiten Theile werden zunächst die bei der gewöhnlich Methode der grössten gemeinsamen Theilers entstehenden Polynome untersucht und die Faktoren hergestellt, um welche sie sich von den Determinantenausdrücken des ersten Theils unterscheiden. Das Gleiche geschieht dann mit denjenigen Formen, welche die oben erwähnte praktische Regel liefert. Mit Hilfe dieser Regel werden dann die Sturm’schen Functionen in Form von Determinanten aufgestellt und gezeigt, dass die Coefficienten der höchsten Potenzen der so gefundenen Ausdrücke mit den von Borchardt gegebenen übereinstimmen. Zum Schluss endlich werden die gefundenen Regeln auf eine Reihe von Beispielen angewandt.
Im dritten Theile werden zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten betrachtet und auf sie die früher gegebenen Regeln angewandt; das so sich ergebende Auflösungsverfahren wird dann mit dem von Labatie verglichen und gezeigt, dass dieses letztere mit Factoren complicirt ist, die bei dem ersteren nicht auftreten. Die Anwendung auf einige Beispiele schliesst die lesenswerthe Abhandlung.

Reviewer: Lüroth, Prof. (München)

MSC:

12E12	Equations in general fields
12D10	Polynomials in real and complex fields: location of zeros (algebraic theorems)
12D05	Polynomials in real and complex fields: factorization
15A15	Determinants, permanents, traces, other special matrix functions

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Capitel 3. Elimination und Substitution, Determinanten, symmetrische Functionen.

Keywords:

Metthods of Sylvester and Bezout; conditions; common roots; common diviso; determinant; polynomials; factors; rule; Sturm’s functions; equations with one or two unknowns; solving process; application