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A theorem on groups. (English) JFM 10.0105.01
1. Wenn \(G=[1,s_2,\dots s_r]\) eine Gruppe des Grades \(n\) und Ordnung \(r\) bildet, so kann man in bekannter Weise eine neue Gruppe \(\varGamma\) des Grades \(2n\) und der Ordnung \(2r\) aufstellen. Falls \(s_{\lambda}s_{\mu}=s_{\mu}s_{\lambda}\) ist, giebt es noch eine zweite Art für die Bildung einer Gruppe \(\varGamma\), indem man nämlich mit \(\sigma_2,\sigma_3, \dots \sigma_r\) den Substitutionen \(s_2, 2_3,\dots s_r\) aus \(n\) neuen Elementen ähnlich gebildete Substitutionen bezeichnet, mit \(t\) diejenige Substitution zweier Ordnung, welche jedes alte Element mit dem entsprechenden neuen vertauscht, und dann \[ \varGamma = [1,s_2\sigma_2, \dots s_r\sigma_r;\quad t,ts_2\sigma_2,\dots ts_r\sigma_r] \] setzt. Die Substitutionen von \(\varGamma\) sind im Allgemeinen nicht mehr unter einander vertauschbar.
2. Bedeutet \(r\) die Ordnung einer Gruppe mit den Substitutionen \(s_1, s_2, s_3 =s_1.s_2\) der Ordnungen \(m_1,m_2,m_3\), so ist: \[ \mu \left(1-\frac1{m_1}\right) +\mu\left(1-\frac1{m_2}\right) \equiv \mu \left(1-\frac1{m_3}\right)\, \text{(mod. 2)}. \]

MSC:
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20E36 Automorphisms of infinite groups
20K30 Automorphisms, homomorphisms, endomorphisms, etc. for abelian groups
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20B25 Finite automorphism groups of algebraic, geometric, or combinatorial structures
08A02 Relational systems, laws of composition
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