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On sums of divisors of integers and the decomposition into two squares. (Sur les sommes des diviseurs des nombres entiers et les décompositions en deux carrés.) (French) JFM 10.0126.02
(Siehe auch JFM 10.0126.01) In der Gleichung \(a-x^2=\pm (b-x)y\) seien \(a,b\) positiv; \(y\) positiv und ungrade; \(x\) liege zwischen \(+\surd a\) und \(-\surd a;x,y\) seien die zum positiven, \(x', y'\) die zum negativen Zeichen gehörigen Lösungen bei gegebenen \(a,b\); dann folgt aus einer Untersuchung über die Congruenz der \(x, x'\) und \(y,y'\) (mod. 2), dass \[ \begin{matrix} \l &\l \\ \sum (-1)^x-\sum(-1)^{x'} &=0 \quad \text{für} \quad a_b^2 \gtrless0 \\ &=(-1)^{b+1} \quad \text{für} \quad a-b^2=0, \end{matrix} \] und , wenn \(P(\omega)\) die Summe der positiven und graden Divisoren von \(\omega\) bezeichnet, dass \[ \begin{matrix} \l &\l \\ \sum(-1)^xy +\sum(-1)^{x'}y' &=(-1)^{b+1}P(a-b^2) \quad \text{für} \quad a-b^2\lessgtr0 \\ &=(-1)^{b+1}b^2 \quad \text{für} \quad a-b^2=0. \end{matrix} \] Ist nun \(f(z)\) eine ungrade Function, und bildet man die Summe der Ausdrücke \((1-)^x f\left(\frac{a-x^2}{y}+x \right)\) für alle zwischen \(+\surd x\) und \(-\surd x\) liegenden \(x\) und alle ungrade Theiler von \(a-x^2\) für \(y\), so folgt, indem man zuerst sämmtliche zu den Argumenten \(\frac{a-x^2}{y}+x=\pm h\) gehörigen Summanden zusammenfasst, aus dem ersten Theile des obigen Satzes, dass jene Summe gleich 0 wird, falls \(a\) kein Quadrat ist, im entgegengesetzten Falle dagegen gleich \((-1)^{a+1}\sqrt{a} f(\surd a)\). Wird \(f(z)=z\) angenommen, so folgt, wenn wir mit \(C(\omega)\) die Summe derjenigen Divisoren von \(\omega\) bezeichnen, deren Complemente ungrade sind, dass \[ C(a)-2C(a-1)+2C(a-4)-2C(a-9)+\cdots=0, \] falls \(a\) kein Quadrat ist, und \[ =(-1)^{a+1}.a, \] falls \(a\) ein Quadrat ist.
Aus diesen Reductionsformeln kann man dann unmittelbar die Sätze ableiten, dass jede Primzahl der Form \(4m+1\) als Summe zweier, jede Primzahl der Form \(8m-3\) als Summe dreier Quadrate darstellbar ist. Durch andere Formen der Function \(f(z)\), durch die Anwendung des zweiten Theils des obigen Satzes, sowie endlich durch Zugrundelegung von allgemeineren Gleichungen als \(a-x^2=\pm(b-x)y\) werden in ähnlicher Weise neue Reductionsformeln hergeleitet. Schliesslich wird gezeigt, wie die merkwürdige Euler-Jacobi’sche Identität, welche im Allgemeinen zur Ableitung solcher Formeln für die Divisoren verwendet wird, umgekehrt aus den gefundenen Sätzes hergeleitet werden kann.

MSC:
11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
Subjects:
Dritter Abschnitt. Zahlentheorie. Capitel 1. Allgemeines.
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