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Sur les propriétés des fonctions définies par les équations différentielles. (French) JFM 10.0223.01

J. Éc. Polytech. 28, 19-26 (1878).
Der Herren Briot und Bouquet haben in ihren berühmten Untersuchungen über die Eigenschaften der Functionen, die durch gewöhnliche Differentialgleichungen definirt sind, gezeigt, dass, wenn der Differentialquotient aufhört, eine holomorphe Function von \(x\) und \(y\) zu sein, zwei Fälle auftreten können: 1) \(y\) ist eine holomorphe Function von \(x\) oder \(x^{\frac1n}\) (\(n\) eine ganze Zahl), 2) \(y\) bietet complicirtere Singularitäten dar. Im letzteren Falle lässt sich die Differentialgleichung auf 3 verschiedene Formen zurückführen, unter denen die genannten Mathematiker besonders eingehend die folgende betrachten:
\[ x\frac{dy}{dx} =f(x,y), \quad \frac{\partial f}{\partial y}\gtrless0 \quad \text{für} \quad x=0, \, y=0, \]
wo \(f(x,y)\) holomorph in \(x\) und \(y\) ist. Sie beschränken sich jedoch darauf, die Bedingungen anzugeben, unter welchen auch hier noch holomorphe Integrale existiren, ohne sich auf das Studium der nicht holomorphen Integrale einzulassen. Herr Poincaré sucht nun diese Lücke zu ergänzen, indem er folgende Sätz beweist:
I. Wenn für \(x=0\), \(y=0\)
\[ \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda, \]
wo \(\lambda\) nicht eine positive Zahl, und der reelle Theil von \(\lambda\) positiv ist, dann lässt sich jede durch die Differentialgleichung (1) definirte Function \(y\), die mit \(x\) verschwindet, in der Umgebung von \(x=0\) nach ganzen positiven Potenzen von \(x\) und \(x^\lambda\) entwickeln. Der Convergenzbezirk ist durch einen Kreis und eine logarithmische Spirale gleichzeitig begrenzt und es ist bemerkenswerth, dass die Reihe für einen der Werthe, die \(x^\lambda\) für einen bestimmten Werth von \(x\) annimmt, convergent sein kann, ohne es für die anderen Werthe von \(x^\lambda\) zu sein. Die Reihe enthält noch als willkürlichen Parameter den Coefficienten von \(x^\lambda\), von welchem alle Glieder der Reihe ganze Functionen sind.
II. Ist. für \(x=0\), \(y=0\)
\[ \frac{\partial f}{\partial y}=1, \]
auf welchen Fall der, wo \(\frac{\partial f}{\partial y}\) gleich einer positiven ganzen Zahl ist, leicht zurückgeführt werden kann, dann existirt in der Umgebung von \(x=0\) eine nach ganzen positiven Potenzen von \(x\) und \(x\log x\) fortschreitende Reihe für \(y\), die der Differentialgleichung (1) genügt und für \(x=0\) verschwindet. Der Convergenzbereich ist durch die Bedingungen gegeben: \[ \mod x<\varphi, \quad \mod(x\log x)<\varphi_1. \] Der willkürliche Parameter ist hier der Coefficient von \(x\), von dem ebenfalls alle Glieder der Reihe ganze Functionen sind.

MSC:

30-XX Functions of a complex variable
34-XX Ordinary differential equations