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Sur les équations différentialles linéaires, qui admettent des intégrales dont les différentielles logarithmiques sont des fonctions doublement périodiques. (French) JFM 10.0230.01

Eine lineare Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung habe ein Fundamentalsystem von eindeutigen Integralen \[ y_i=f_i(x)\quad i=1,\dots n, \] die den Gleichungen \[ f_i(x+2K) +\mu_if_i(x), \quad f_i(x+2K'i) =\mu'_if_i(x) \] genügen, so ist leicht zu zeigen, dass die Coefficienten der Differentialgleichung eindeutige doppeltperiodische Function von \(x\) sein müssen. Handelt es sich insbesondere um eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche unbeschadet der Allgemeinheit auf die Form \(y^n=Py\) gebracht werden kann, so findet sich für die Existenz eines Integrales \({\mathfrak F}(x)\) derselben von obiger Beschaffenheit mit der näheren Bestimmung, dass dasselbe in den singulären Punkten nur von einer endlichen Ordnung unendliche werden soll, folgende nothwendige und hinreichende Bedingung \[ P+\varepsilon +\sum_i A_i D_x \log H(x-a_i) +B_i D_x^2 \log H(x-a_i) \]
\[ A_i =2r_iR_i \quad B_i =r_i-r_i^2, \] wo \(r_i\) eine ganze Zahl, \(\varepsilon\) eine Constante und \[ R_i =\sum_i {}' r_i D_x \log H(x-a_i)_{x-a_i}, \] das Zeichen \(\sum\) ferner auf alle singulären Punkte \(a_i, \sum_i'\) sich auf alle \(a_i\) ausser \(a_i\) erstreckt. Man hat alsdann \[ y_1={\mathfrak F}(x) =e^{\delta x+\delta'} \prod_i H(x-a_1)^{r_i} \] (\(\delta\) und \(\delta'\) Constante); eine zweite Lösung ist \[ y_2={\mathfrak F}(x) \int \frac{dx}{F(x)^2}. \] Soll die letztere auch eindeutig sein, so muss der Coefficient von \((x-a)^{-1}\) in der Entwickelung von \(\frac1{F(x)^2}\) nach steigenden Potenzen von \(x-a\) gleich Null sein.
Von diesen allgemeineren Ergebnissen wird eine Anwendung auf die Lamé’sche Gleichung \[ y'' =(n(n+1)k^2 \sin^2 \text{am} x+h)y \] gemacht. Für den besonderen Fall \(n=1\) werden vom Verfasser bei dieser Gelegenheit die Rechnungen angegeben, die zu den in einem Briefe an Herrn Hermite vom 30. October (C. R. LXXXV. 947, s. F. d. M. IX. p. 348, JFM 09.0348.01) veröffentlichten Resultaten betreffs der Werthermittelung des \(2^{\text{ten}}\) Integrals führen. Den Schluss der Arbeit bildet ein kurzer Auszug der oben besprochenen zuerst in den Gött. Nachr. 1877 erschienenen Arbeit des Verfassers.

Citations:

JFM 09.0348.01
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Full Text: EuDML Gallica