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The theory of transformation groups III. (Theorie der Transformationsgruppen III.) (German) JFM 10.0258.01
Diese Abhandlung schliesst sich als Fortsetzung an zwei frühere an (Archiv for Math. og. Naturv., s. F. d. M. VIII. p. 212, JFM 08.0212.01). Sie zerfällt in zwei Abschnitte. Im ersten Abschnitte entwickelt der Verfasser allgemeine Sätze, die sich auf die Transformationsgruppen eines \(n\)-fach ausgedehnten Raumes beziehen. Unter denselben möge hier nur der folgende seinen Platz finden.
Es seien \(A_1f\dots A_rf\) Ausdrücke der Form \[ A_if=X_{i1}p_1 +\cdots +X_{in}p_n, \quad \left( p_n= \frac{\partial f}{\partial x_k} \right), \] die paarweise Relationen der Form \[ A_i(A_k(f))- A_k (A_i (f)) =\sum c_{iks}A_sf \] genügen. Ferner seinen \(A'_1f \dots A'_rf\) analoge Ausdrücke in \[ x'_1\dots x'_n \, p_1' \dots p'_n, \] die ebenso Relationen der Form \[ A_i'(A_k'(f)) -A_k'(A_i'(f))= \sum d_{iks} A'_sf \] befriedigen. Wir setzen voraus, dass die Gleichungen \[ A_1f=A_1'f\dots A_rf=A'_rf \] durch eine Berührungstransformation zwischen \[ x_1\dots x_n \, p_1\dots p_n \quad \text{und} \quad x_1'\dots x_n\, p_1'\dots p_n \] erfüllt werden können. Sollen sie insbesondere durch eine Punkttransformation zwischen \(x_1\dots x_n\, x_1'\dots x_n'\) befriedigt werden können, so ist hierzu nothwendig und hinreichend, dass die beiden \(r\)-gliederigen Gleichungssysteme \[ A_if=0 \quad \text{und} \quad A'_if=0 \] eine gleiche Anzahl unabhängiger Gleichungen enthalten.
Vermöge dieses Satzes kann man immer unterscheiden, ob eine vorgelegte Transformationsgruppe durch Einführung von zweckmässigen Variabeln auf eine gewisse Form gebracht werden kann.
Der zweite Abschnitt giebt die Bestimmung von allen Gruppen von Punkttransformationen einer Ebene. Die angewandte Methode beruht auf der folgenden Bemerkung: Es seien \(A_1f \dots A_rf\), wo \[ A_i f=\xi_i (xy)p +\eta_i(xy)q, \] \(r\) unabhängige infinitesimale Transformationen einer \(r\)-gliedrigen Gruppe. Alsdann besitzt die allgemeinste infinitesimale Transformation der Gruppe die Form \[ c_1A_1f +\cdots +c_rA_rf, \] wo die \(c_i\) willkürliche Constanten sind. Man denke sich jetzt die \(\xi_i\) und \(\eta_i\) nach den ganzen Potenzen von \(x\) und \(y\) entwickelt. Setzt man voraus, dass \(r>2\) ist, so kann man immer die \(c_1\) der Art wählen, dass die infinitesimale Transformation \(\sum c_iA_if\) nur Glieder von erster und höherer Ordnung hinsichtlich \(x\) und \(y\) enthält. Hierbei bleiben sogar jedenfalls \(r-2\) Constanten \(c_i\) unbestimmt. Es giebt daher jedenfalls \(r-2\) infinitesimale Transformationen, die in der Umgebung des Werthsystems \(x=0, y=0\) von der ersten Ordnung hinsichtlich \(x\) und \(y\) sind. In entsprechender Weise findet man jedenfalls \(r-6\) infinitesimale Transformationen zweiter Ordnung, \(r-12\) Transformationen dritter Ordnung u. s. w.
Bildet man nach diesen Verbesserungen die Gleichungen \[ A_i(A_k(f))- A_k (A_i(f))= \sum c_{iks}A_sf, \] die bekanntlich bestehen sollen, so erkennt man, dass der Werth von einigen Constanten \(c_{iks}\) a priori angegeben kann. Ist in der That \(A_if\) eine Transformation \(i^{\text{ter}}\) Ordnung, \(A_kf\) eine Transformation \(k^{\text{ter}}\) Ordnung, so ist \(A_i(A_k(f))-A_k(A_i(f))\) von \((i+k-1)^{\text{ter}}\) oder noch höherer Ordnung, und daher enthält die rechte Seite der letzten Gleichung nur Grössen \(A_sf\), deren Ordnung gleich oder grösser als \(i+k-1\) ist.
Diese Betrachtung giebt durch verhältnissmässig einfache Rechnungen die Bestimmung aller Gruppen von Punkttransformationen einer Ebene.

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