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Treatise on the approximation of functions of very large numbers and on a class comprising series expansions. (Mémoire sur l’approximation des fonctions de très-grands nombres, et sur une classe étendue de développements en série.) (French) JFM 10.0279.01

Liouville J. (3) 4, 5-56 (1878); 4, 377-416 (1878).
Nach den Resultaten Dirichlet’s lässt sich jede Function von der Natur derjenigen, die gewöhnlich in der Analysis angewendet werden, in ein trigonometrische Reihe entwickeln, sobald sie endlich bleibt oder sobald sie, für eine oder mehrere Veränderliche, unendlich wird von einer Ordnung, die kleiner als 1, so dass ihr Integral endlich bleibt. Seit Dirichlet’s berühmter Abhandlung hat man die Frage nach der Grösse der Glieder der Reihe, aus der man früher die Berechtigung der Entwickelbarkeit in eine trigonometriche Reihe ausschliesslich folgerte, wieder ein wenig vernachlässigt. In der vorliegenden Abhandlung stellt nun Herr Darboux zunächst genaue Kennzeichen für die Ordnung der Grösse der Glieder einer trigonometrischen Reihe auf und wendet dann die erhaltenen Resultate auf das Studium einer wichtigen Frage an, die sich Laplace in seinem “Calcul des probabilitës” gestellt, und für welche er eine berühmte Methode gegeben hat: nämlich die Frage nach dem Näherungswerthe der Functionen sehr grosser Zahlen, wie man sie bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung und in der Mechanik des Himmels antrifft. Die Mehrzalh der Functionen von sehr grossen Zahlen treten als Coefficienten der Potenzen von \(x\) in der Reihe \[ a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n+\cdots \] auf. Aber es genügt, in solchen Reihen das \(x\) durch \(Re^{i\omega}\) zu ersetzen und \(\omega\) als einzige Variable anzusehen, um eine trigonometrische Reihe zu erhlaten; und nun handelt es sich um die angenähert Bestimmung der Coefficienten einer solchen Reihe. Unter den Anwendungen, welche Herr Darboux von seiner Methode macht, sind folgende hervorzuheben: 1) die näherungsweise Bestimmung der Legendre’schen Polynome; 2) die Annäherung der \(n^{\text{text}}\) Ableitungen von \((1-x^2)^{-\alpha}, (1+x^2)^{-\alpha}\), und allgemein von \((x-a_1)^{\alpha_1}, \dots (x-a_p)^{\alpha_p}\), wo die \(\alpha_1, \dots \alpha_p\) ganz beliebig sind; 3) wird bei der Auswerthung des Integrals \[ \int f(x)\varphi^n (x). dx \] das Resultat von Laplace auf den Fall ausgedehnt, wo die Functionen \(f\) und \(\varphi\), ebenso wie auch die Grenzen des Integrals imaginär sind; 4) die Annäherung des allgemeinen Gliedes der Reihe von Lagrange \[ \frac{d^n}{dx^n} f(x)\varphi^n(x) \] 5) die näherungsweise Bestimmung derjenigen Polynome, die aus der hypergeometrischen Reihe entstehen und von Jacobi und Tchébychef studirt worden sind. Mit Hülfe des letzten Resultates löst der Herr Verfasser folgende Frage: Es lassen sich die Polynome der hypergeometrischen Reihe in den Reihen-Entwickelungen anwenden; man kann eine Function durch eine Reihe darstellen, die aus diesen, den Legendre’schen Polynomen ganz und gar ähnlichen zusammengesetzt ist; ist diese Reihe convergent und stellt sie diese Funciton wirklich dar? Die Behandlung dieser Frage führt zu neuen Resultaten für die Theorie der trigonometrischen Reihen.

MSC:

42A16 Fourier coefficients, Fourier series of functions with special properties, special Fourier series
33C45 Orthogonal polynomials and functions of hypergeometric type (Jacobi, Laguerre, Hermite, Askey scheme, etc.)
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Full Text: EuDML Gallica