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Ueber cyclisch-projective Punktgruppen in der Ebene und im Raume. (German) JFM 10.0378.05
In Erweiterung der Abh. im XI. Bande der Annalen p. 84 (F. d. M. IX. 385, JFM 09.0385.01) sucht Herr Lüroth nun in der Ebene und im Raume solche Punktgruppen \(a_1,a_2,\dots a_n\) auf, welche durch projective (collineare) Transformation in \(a_2,a_3,\dots a_1\) übergehen.
Für die Ebene ergiebt sich der Satz: Wenn die \(n\) Punkte nicht auf einer Geraden liegen, so befinden sie sich auf einem Kegelschnitte, so dass das Problem auf das frühere zurückgeführt ist. Jedes andere Arrangement, das die cyclisch-projective Gruppe auf dem Kegelschnitte wieder zu einer solchen macht, ist auch bei dem Probleme der Ebene möglich. Die der Gruppe als Gruppe auf dem Kegelschnitte zugehörige Involutionsaxe \(g\) und der Pol sind sich selbst entsprechende Elemente der collinearen Beziehung. Auch hier inducirt jeder weitere Punkt \(b_1\) der Ebene eine neue, derselben collinearen Beziehung angehörige cyclich-projective Gruppe, und die verschiedenen sich so ergebenden Kegelschnitte haben zwei imaginäre Berührungen auf \(g\).
Die räumliche collineare Transformation, bei der eine cyclisch-projective Gruppe möglich ist, bietet zwei Fälle. In beiden giebt es zwei reelle sich selbst entsprechende Gerade: in dem einen hat die eine Gerade zwei reelle, die andere zwei imaginäre sich selbst entsprechende Punkte, durch jene gehen zwei imaginäre, durch diese zwei reelle sich selbst entsrpechende Ebenen; im zweiten Falle sind alle sich selbst entsprechenden Punkte und Ebenen imaginär.
In jenem Falle muss dia Zahl der Punkte der Gruppe grade sein, und \(a_1,a_3,a_5,\dots\) liegen auf der einen, \(a_2,a_4,\dots\) auf der andern von zwei Ebenen, welche zu den reellen sich selbst entsprechenden Ebenen harmonisch sind. Ist \(P_1\) einer der reellen sich selbst entsprechenden Punkte, so bildet \(P_1(a_1,a_1,\dots,a_n)\) eine cyclisch-projective Gruppe im Strahlenbündel, also auf einem Kegel zweiten Grades gelegen, und die den Punkt \(P_1\) enthaltende reelle sich selbst entsprechende Ebene ist die zugehörige Ebene (das Analogon der Involutionsaxe der Ebene). Im zweiten Falle liegen die Punkte der Gruppe auf einem geradlinigen Hyperboloid und die durch sie gehenden Geraden aus jeder der beiden Schaaren bilden eien cyclisch-projective Gruppe. Die derselben Collineation angehörigen weiteren cyclisch-projectiven Gruppen veranlassen neue Hyperboloide, und alle diese Flächen gehen durch dasselbe imagin\"re windschiefe Viereck, dessen Ecken die vier imaginären sich selbst entsprechenden Punkte sind.
Doch hat der Beweis für diesen Fall dem Ref. nicht recht eingeleuchtet; er enthält einen ihm nicht bekannten und auch nicht definirten Begriff: was versteht Herr Lüroth unter dem Aeusseren und Inneren eines geradlinigen Hyperboloids, an welches doch von jedem Puntke ein reeller Tangentialkegel kommt?

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