Construire les axes d’une ellipse, étant donnés deux diamétres conjugués. (French) JFM 10.0391.01

Mannheim, A.

Nouv. Arch. (2) XVII. 529-536 (1878).

Die Aufgabe, welche oben gestellt ist, löst Herr Mannheim mit höchst einfachen Mitteln. Bekanntlich beschreibt jeder Punkt einer Kreisfläche, welche sich innerhalb eines anderen Kreises mit doppeltem Radius rollend bewegt, eine Ellipse, während die Peripheriepunkte Durchmesser jenes Kreises durchlaufen. Ist \(e\) der augenblickliche Berührungspunkt beider Kreise und \(m\) irgend ein Punkt der rollenden Kreisfläche, so ist \(me\) Normale der von \(m\) beschriebenen Ellipse \((m)\), das Loth vom Mittelpunkt \(o\) des Bahnkreises auf \(me\) giebt also die Richtung der Tangente im Punkte \(m\) an. Heisst dieses \(od\), so sind \(om\) und \(od\) conjugirte Richtungen. Während der Bewegung des Kreises beschreibt \(e\) die Gerade \(oe\) und \(d\) die Gerade \(od\); es bewegt sich also \(ed\) als starre Gerade zwischen den Schenkeln des Winkels \(eod\). Geht \(ed\) in die Richtung von \(od\) über, so fällt \(m\) in einen Punkt \(n\), also ist \(on=om\) die Grösse des dem Halbmesser \(om\) zugehörigen conjugirten Halbmessers. Sind demnach \(om\) und \(on\) als conjugirte Halbmesser einer Ellipse gegeben, so construire man das Loth \(md\), trage von \(m\) aus in der Richtung dies Lothes \(on=me\) an und lege über \(oe\) als Durchmesser einen Kreis. Legt man von \(m\) aus durch den Mittelpunkt dieses Kreises den Durchmesser \(ge\), so sind \(og\) und \(oe\) die Richtungen der Axen der Ellipse, die Strecken \(gm\) und \(me\) geben aber ihre Grösse an. Hätte man \(on=mc'\) in entgegengesetzter Richtung abgetragen, so hätte man eine zweite Construction erhalten. Indem man beide zusammenfasst, gelangt man zu der Lösung, welche Chasles in seinem “Aperçu historique” p. 362 von dem vorgelegten Problem gegeben hat: “Durch den Endpunkt \(A\) des einen der conjugirten Durchmesser lege man eine Senkrechte gegen den zweiten und trage auf dieser Senkrechten von \(A\) aus nach beiden Seiten den zweiten conjugirten Halbmesser ab. Die Endpunkte dieser Strecken verbinde man mit dem Mittelpunkt der Ellipse und halbire durch zwei neue Gerade Winkel und Nebenwinkel dieser Verbindungslinien. Die Richtungen der beiden neuen Geraden geben die Richtungen der Axen an, die Summe jener beiden Verbindungslinien aber entspricht der grossen Axe der Ellipse.” Die gewöhnlichen Relationen für conjugirte Durchmesser werden im Anschluss an diese Lösung mit höchst elementaren Mitteln entwickelt, und endlich noch eine zweite Lösung des Problems beigefügt.

Reviewer: Schumann, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Achter Abschnitt. Reine, elementare und synthetische Geometrie. Capitel 5. Neuere synthetische Geometrie. A. Ebene Gebilde.