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Study on the existing normals from a given point to a conic. (Recherches sur les normales que l’on peut, d’un point donné, mener à une conique.) (French) JFM 10.0477.02
Der Verfasser geht von dem Liouville’schen (Liouville J. (1) VI. 403) Satze aus: “Wenn man in den 4 Schnittpunkten eines Kreises und eines Kegelschnittes Normalen an den Kegelschnitt zieht, und ferner durch den Mittelpunkt des Kreises eine beliebige Secante zieht, so liegt der harmonische Mittelpunkt des Kreismittelpunktes in Beziehung auf die 4 Punkte, in denen die Secante die Normalen schneidet, im Unendlichen”, und leitet daraus eine Reihe von Sätzen über Normalen her, von denen hier der folgende Platz finden möge: “Wenn man mit \(a,b,c,d\) die Fusspunkte der 4 Normalen bezeichnet, die man von einem Punkte \(M\) an einen Kegelschnitt ziehen kann, und mit \(A,B,C,D\) die Mittelpunkte der den Dreiecken \(bcd,cda,dab,abc\) umschriebenen Kreise, so schneiden sich die Geraden, die durch diese Punkte parallel den Secanten \(Ma, Mb, Mc, Md\) gezogen sind, in einem Punkt \(\mu\). Dieser Punkt liegt auf der Geraden, die \(M\) mit dem Mittelpunkte des Kegelschnitts verbindet, auf der entgegengesetzten Seite von \(M\) in einer Entfernung, die kleiner als die Hälfte davon ist.” Der Verfasser wendet sich sodann zur Lösung der Aufgabe: Zu bestimmen die Kegelschnitte, die 4 gegebene Gerade, die durch einen Punkt \(M\) gehen, orthogonal schneiden. Angehängt finden sich 3 Noten, deren erste von der Bestimmung eines Kegelschnitts handelt, von dem man die Axen und zwei Normalen kennt. Die zweite giebt einige Sätze über Normalen an Curven und Flächen zweiten Grades, die dritte endlich behandelt eine Invariante zweier cubischen Formen, die in der Theorie der Normalen an einen Kegelschnitt auftritt.
MSC:
51M04 Elementary problems in Euclidean geometries
51M15 Geometric constructions in real or complex geometry
51N35 Questions of classical algebraic geometry
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Full Text: DOI Numdam EuDML