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A memoir on the theory of curvilinear coordinates and orthogonal systems. (Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes, et des systèmes orthogonaux.) (French) JFM 10.0500.04
Ann. de l’Éc. N. (2) VII, 101-150 (1878); VII, 227-260, 275-348 (1878).
Die Theorie der dreifach orthogonalen Flächensysteme bildet hier den Ausgangspunkt einer Theorie der krummlinigen Coordinaten, welche der Verfasser als Fortbildung der zuerst von Lamé bearbeiteten Theorie zu geben unternimmt, und zwar beginnt er sie unmittelbar mit der Untersuchung der Bedingung, unter der eine Flächenschaar einem dreifach orthogonalen System angehören kann. Die von ihm gebrauchte Ausdrucksform ist die, welche die Parameter der Flächenschaaren \(u_1,u_2,u_3\) als Functionen der cartesischen Coordinaten \(x_1,x_2,x_3\) darstellt. Durch Transformation der Bedingungsgleichungen rechtwinkligen Durchschnitts und Elimination ergiebt sich als gesuchte Bedingung: \[ S=\begin{vmatrix} A_{11} &A_{22} &A_{33} &A_{23} &A_{31} &A_{12}\\ u_{11} &u_{22} &u_{33} &u_{32} &u_{31} &u_{12}\\ 1 &1 &1 &0 &0 &0\\ 2u_1 &0 &0 &0 &u_3 &u_2\\ 0 &u_2 &0 &u_3 &0 &u_1\\ 0 &0 &u_3 &u_2 &u_1 &0\end{vmatrix} =0, \] wo die Indices bei \(u\) die partielle Differentiation nach den ebenso numerirten \(x\) bezeichnen, und \[ A_{ik}=u_1u_{ik1}+u_2u_{ik2}+u_3u_{ik3}-2(u_{1i}u_{k1} \]
\[ +u_{i2}u_{k2}+u_{i3}+u_{k3}) \] ist. Hieraus fliesst zunächst ein specielles Resultat von Bouquet, dann ein Resultat von Puiseux durch diejenige Vereinfachung, welche die Wahl solcher Axen, dass \(u_2=u_3=u_{23}=0\) wird, mit sich bringt. Man erhält hier: \[ S=K-\Omega;\quad K=U_1^4(u_{22}-u_{33})u_{123};\quad \Omega=2u_1^3(u_{22}-u_{33})u_{12}u_{13}. \] Verschwinden \(K\) und \(\Omega\) einzeln, so hat man den Fall, wo die Flächenschaar aus Kugel oder Ebenen besteht; den Beweis, dass auch das Umgekehrte gilt, übergeht der Verfasser. Die Gleichung \(S=0\) wird nun durch Einführung von \[ \frac1H=\sqrt{u_1^2+u^2_2+u_3^2} \] in eine Gleichung \(T=0\) transformirt, wo \(T\) aus \(S\) hervorgeht, indem man für die \(A\) die gleichnumerirten \(H\), als partielle Differentialquotienten zu verstehen, einsetzt. Bei obiger Wahl der Axen wird dann \(T=-\frac12SH^3\). Endlich wird dieses \(T\) durch Combination der Horizontalreihen in eine Functionsdeterminante \(2^{\text{ter}}\) Ordnung \[ \sum\pm\frac{\partial^2v_1}{\partial x^2}\frac{\partial^2v_2}{\partial y^2} \frac{\partial^2v_3}{\partial z^2}\frac{\partial^2v^4}{\partial y\partial z} \frac{\partial^2v_5}{\partial z\partial x}\frac{\partial^2v_6}{\partial x\partial y}=0 \] übergeführt, wo \[ v_i=\Phi_i(u)H+\alpha_i(u)\,(x^2+y^2+z^2)+\beta_i(u)x+\gamma_i(u)y+\delta_i (u)z+\zeta_i(u) \] für willkürliche Coefficienten ist. Eine Particularlösung hiervon erhält man dann, indem man eins \(v=0\) setzt. Die Gleichung \(v_i=0\) wird erfüllt durch eine Schaar von Kugeln, deren Parameter \(u\) ist. Die Coefficienten der Kugelgleichung sind durch ein System von Differentialgleichungen mit einer Unabhängigen \(u\) bestimmt, welches sich für gegebene Coefficienten von \(v_i\) nicht integriren lässt. Die Integration in dem Sinne, dass jene Coefficienten disponible Functionen bleiben, wird nun nach einer Methode von Bonnet gezeigt, von der der Verfasser jedoch im zweiten Theile abweicht, indem er die Anzahl der Variabeln successive um 1 vermindert. Das Integral ist in der Form dargestellt \[ C_1S_1+C_2S_2+\cdots+C_6S_6=0, \] wo die Constanten \(C\) durch eine Relation \(2^{\text{ten}}\) Grades verbunden sind. Sind die Coefficienten in \(v_i\) constant, so liegt die Integration auf der Hand. Einige andere besondere Fälle werden noch in Betracht gezogen. Es wird dann die Umgebung eines Punktes untersucht, und eine Formel von Maurice Levy hergeleitet. Von da an legt der Verfasser der Untersuchung den Ausdruck der Flächenschaar \(\varphi(x,y,z,u)=0\) zu Grunde, gestaltet erst die Gleichung \(S=0\) gemäss der impliciten Bestimmung von \(u\) und wendet sich besonders zu den Fällen, wo die Axen der \(x,y,z\) Symetricaxen sind, was ihn auf die Flächen \(2^{\text{ten}}\) Grades führt. Es folgt die Darlegung der Theorie der Fünfkugelcoordinaten. Setzt man \[ 2\lambda x_k=\overset {k}{\alpha_1}\frac{x^2+y^2+z^2-R^2}{2R}+\overset {k} {\alpha_2}x+\overset {k}{\alpha_3}y+\overset {k}{\alpha_4}z+i\overset {k}{\alpha_5}\frac{x^2+y^2+z^2+R^2}{2R}, \] wo \(x,y,z\) cartesische Coordinaten \[ \left(\overset {k}{\alpha_1}\right)^2+\cdots+\left(\overset {k}{\alpha_5}\right)^2=1, \] so sind \(x_1=0,\dots x_5=0\) die 5 Kugeln, und \(x_1\dots x_5\) die Fünfkugelcoordinaten. Jeder Mittelpunkt ist bestimmt durch die Coordinaten \[ x=-\alpha_2\varrho,\quad y=-\alpha_3\varrho, \quad z=-\alpha_1\varrho, \] wo \[ \varrho=\frac R{\alpha_1+i\alpha_5} \] den Radius ausdrückt. Damit sich die Kugeln rechtwinklig schneiden, muss sein \[ \overset {k}{\alpha_1}\overset {k}{\alpha_1}+\cdots+\overset {k}{\alpha_5}\overset {k}{\alpha_5}=0. \] Es ergiebt sich dann, dass \[ x_1^2+x^2_2+\cdots+x^2_5=0, \]
\[ \partial x^2+\partial y^2+\partial z^2=\frac1{4\lambda^2}(\partial x_1^2+\cdots+\partial x_5^2). \] Bestimmt man 2 Flächen in den Fünfkugelcoordinaten, so hat die Bedingung der Orthogonalität die gleiche Form wie bei gewöhnlichen. Angewandt auf die Cycliden ergiebt sich ein Ausdruck des Linienelements in Kugelrauten. Es werden dann orthogonale Systeme, gebildet aus einer Familie Cycliden, untersucht, dann verschiedene Probleme nach der bei Entwickelung der Gleichung \(3^{\text{ter}}\) Ordnung angewandten Methode gelöst. Im \(2^{\text{ten}}\) Theile werden die gleichen Untersuchungen auf orthogonale Systeme zu \(n\) Variabeln ausgedehnt, dann auf den Fall angewandt, wo der Parameter als Summe von Functionen je einer Variabeln dargestellt ist. Hieraus fliessen viele dreifach orthogonale Flächensysteme. Im \(3^{\text{ten}}\) Theile erweitert der Verfasser Lamé’s, in Ann. de l’Éc. N. III. enthaltene Methode der Aufsuchung orthogonaler Systeme auf \(n\) Variabele, führt sie an dem Beispiele, wo alle \(H_i\) einander gleich sind, durch, weist auf eine allgemeinere Bedeutung der ersten der 2 Gruppen von Bedingungsgleichungen für die Integrabilität eines Systems partieller Differentialgleichungen hin, und beweist folgende 2 Sätze: Die erste Lamé’sche Gruppe drückt aus, dass die Flächen des dreifachen Systems sich längs conjugirter Linien schneiden. Entsprechen sich 2 Systeme krummliniger Coordinaten derart, dass in homologen Punkten die Berührungsebenen der 3 Flächen in beiden Systemen parallel sind, so schneiden sich die Flächen jedes Systems längs conjugirten Linien; und umgekehrt, wenn 3 Flächenfamilien sich längs conjugirten Linien schneiden, so giebt es andere Systems krummliniger Coordinaten mit 3 willkürlichen Functionen derart, dass jene Ebenen parallel sind. Es werden sodann einige dreifache Systems von Flächen, die sich längs conjugirter Linien schneiden, untersucht; dann aus gegebenen orthogonalen Systemen zu \(n\) Variabeln verschiedene orthogonale Systeme abgeleitet; dann davon Anwendung gemacht auf ein orthogonale System, welches die isothermen Systeme als besondern Fall enthält; schliesslich hierin einem Exponenten nach einander die Werthe 1, 2, \(\frac12\) ertheilt.

MSC:
53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
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Full Text: Numdam Numdam Numdam EuDML