Darboux, G. Sur le mouvement d’une figure invariable; propriétés relatives aux aires, aux arcs des courbes décrites et aux volumes des surfaces trajectoires. (French) JFM 10.0562.01 Darboux Bull. (2) II, 333-356 (1878). Die vorliegende Arbeit des Herrn Darboux vermittelt durch eine höchst gewandte Analyse eine Einsicht in eine Reihe von Theoremen, auf die Steiner zuerst den Blick lenkte und die im Verlaufe gar mannigfache Verallgemeinerungen durch die Herren Gilbert, Williamson, Leudesdorf, Kempe, Liguine erfahren haben (cfr. p. 570, 573). Ueber die historische Entwickelung dieser Theoreme, die sich auf die Flächen beziehen, die von Punkten eines beweglichen, aber in sich starren Gebildes bei der Bewegung umschrieben werden, giebt Herr Liguine in der Abhandlung “Sur les aires des trajectoires décrites dans le mouvement plan d’une figure de forme invariable (Bull. des sciences mathématiques. Tome. II. Aout 1878) einen ausführlichen Bericht. Die Gesichtspunkte, von denen Herr Darboux ausgeht, und die Resultate seiner Untersuchung sind kurz folgende:Eine Ebene bewege sich auf einer Ebene; die Lage eines Punktes in der beweglichen Ebene sei durch die Coordinaten \(x,y\) auf ein in ihr befindliches Axenkreuz bezogen, während seine Lage in Bezug auf ein festes Axenkreuz in der anderen Ebene durch die Coordinaten \(x_1,y_1\) bestimmt werde. Der Zusammenhang zwischen diesen und jenen kann durch die Gleichungen ausgedrückt werden: \[ \text{(I.)}\quad \begin{cases} x_1=(x-\alpha)\cos\omega-(y-\beta)\sin\omega,\\ y_1=(x-\alpha)\sin\omega+(y-\beta)\cos\omega, \end{cases} \] worin \(\alpha,\beta,\omega\) eine bekannte geometrische Bedeutung haben. Bei einer irgendwie vorliegenden Bewegung kann man \(\alpha,\beta,\omega\) als Functionen einer unabhängigen Variabeln auflassen, oder auch \(\alpha\) und \(\beta\) als Functionen der als unabhängig zu betrachtenden Grösse \(\omega\). Geht nun die bewegliche, aber in sich starre Ebene aus einer Lage \(P_0\) nach irgend einem Gesetz in die Lage \(P_1\) über, so beschreibt ein Punkt \(M\) ein Bahn von \(M_0\) bis \(M_1\), und ein Radius vector, welcher von dem Kreuzungspunkt des in der festen Ebene ruhenden Axenkreuzes nach dem beweglichen Punkt ausläuft, ein Flächenstück \(\mathfrak U\), welches durch die Gleichung \[ 2{\mathfrak U}=\int_{M_0}^{M_1}(x_1dy_1-y_1dx_1) \] bestimmt ist. Die Bedeutung dieses Integrals ist bei einer irgend wie gefundenen Bahn in dem von Gauss festgestellten Sinne zu nehmen. Die Differentiale \(dx_1\) und \(dy_1\) sind Functionen von \(\omega\), während für ein und denselben Punkt \((x,y)\) der beweglichen Ebene \(x\) und \(y\) als unveränderlich zu betrachten sind. Bildet man daher die Differentiale aus obigen Gleichungen und führt sie in das Integral ein, so lassen sich die Grössen \(x,y\) vor die nach \(d\omega\) auszuführenden Integrale ziehen, und man erhält einen Ausdrück von der Form: \[ {\mathfrak U}=\frac O2(x^2+y^2)-Ax-by+C. \] Hierin bedeutet \(O=\omega_1-\omega_0\) den Winkel, um welchen das bewegliche Gebilde beim Uebergang aus der einen Lage in die andere sich gedreht hat; \(A,B,C\) sind aber Integrale in Bezug auf die Veränderliche \(\omega\), welche ein \(x\) oder \(y\) nicht enthalten. Es giebt demnach in der Ebene der beweglichen Figur im Allgemeinen einen Kreis, für dessen Punkte die Flächen \(\mathfrak U\) Null sind, die Fläche aber, welche irgend ein anderer Punkt der Ebene umschreibt, ist gleich \(\frac O2\) mal der Potenz dieses Punktes in Bezug auf jenen Kreis. Die Punkte also, welche auf einem mit jenem concentrischen Kreise liegen, umschreiben Flächen von gleichem Inhalt. Der Werth der Integrale \(A\) und \(B\) bestimmt den Mittelpunkt jener Kreisschaar. Ihre Untersuchung führt Herrn Darboux auf einen einfachen Zusammenhang desselben mit dem Steiner’schen Krümmungsschwerpunkte. Bekanntlich lässt sich eine jede Bewegung eines starren Gebildes dadurch hervorgebracht denken, dass der Ort der augenblicklichen Drehungscentra in der beweglichen Figur, die “centroide mobile” des Herrn Liguine, auf dem Ort der augenblicklichen Drehungscentra für die feste Ebene, der “centroide fixe”, ohne Gleitung rollt. Jedem Punkte der centroide mobile entspricht ein Punkt der centroide fixe. Belastet man jeden Punkt der centroide mobile mit einer Masse, proportional der Summe der Krümmungen, die ihm und dem entsprechenden Punkte in der centroide fixe zukommt, so ist der Schwerpunkt der so belasteten centroide mobile der Steiner’sche Krümmungsschwerpunkt. Wird seine Lage in Beziehung auf das Axenkreuz in der beweglichen Figur durch \(\xi',\eta'\) angegeben, so ist der Mittelpunkt \((x,y)\) obigen Systems concentrischer Kreise, auf dasselbe Axensystem bezogen, durch die Ausdrücke angegeben: \[ x=\xi'+\frac{\beta_0-\beta_1}{2O}; \quad y=\eta'+\frac{\alpha_0-\alpha_1}{2O}. \] Hierin bedeuten \(\alpha_0,\beta_0,\alpha_1,\beta_1\) die Werthe, welche dem \(\omega_0\) und \(\omega_1\), wodurch Anfangs- und Endlage des beweglichen Systems bestimmt sind, in dem Gleichungssystem I. entsprechen.Nimmt man daher an, dass der Kreuzungspunkt des Axenkreuzes in der festen Ebene mit dem Drehungscentrum zusammenfällt, um welches das bewegliche System aus der Lage \(P_0\) in die Lage \(P_1\) durch eine endliche Drehung übergeführt werden kann, so ist \(\alpha_0=\alpha_1\) und \(\beta_0=\beta_1\), und es fällt daher in diesem Fall der Mittelpunkt des concentrischen Kreissystems mit dem Krümmungscentrum der centroide mobile zusammen. Dasselbe findet statt, wenn die Bewegung periodisch ist, wenn also bei einem Wachsthum von \(2n\pi\) für \(\omega\), wobei \(n\) eine positive oder negative ganze Zahl oder auch Null sein darf, \(\alpha\) und \(\beta\) ihre Anfangswerthe wieder annehmen. In diesem Falle umschreibt jeder Punkt des beweglichen Gebildes eine geschlossene Curve. Der betrachtete Integralwerth \(\mathfrak U\) stellt den von ihr umschlossenen Flächenraum dar, in dem Gaussischen Sinne genommen. Es sind also diese Flächen constant für alle Punkte, welche auf concentrischen Kreisen um den Krümmungsschwerpunkt liegen; einer von ihnen zeichnet sich dadurch aus, dass seine Punkte im Allgemeinen Flächen vom Inhalt Null umschreiben. Die Fläche, welche irgend ein anderer Punkt umschreibt, ist gleich dem Product aus der halben Drehung und der Potenz des Punktes in Rücksicht auf jenen Kreis. Für \(O=2\pi\) und convexe Centroiden hat Steiner den Satz zuerst bewiesen.Liegen in der beweglichen Figur 3 Punkte 1, 2, 3 in gerader Linie, so kann man die \(X\)-Axe durch sie gelegt denken. Für die 3 von ihnen umschriebenen Flächen \(S_1,S_2,S_3\) giebt es daher 3 Gleichungen, in denen, da \(y_1=0,y_2=0,y_3=0\) ist, der Coefficient \(B\) nicht vorkommt. Eliminirt man aus den 3 Gleichungen \(A\) und \(C\), so gewinnt man, wenn man mit \((ik)\) die Distanz von \(i\) bis \(k\) versteht, die Relation \[ S_1(23)+S_2(31)+S_(12)+\frac O2(12)\,(23)\,(31)=0. \] Beschreiben 2 und 3 dieselbe convex gekrümmte Curve, so ist \(S_2=S_3,O=2\pi\), und es folgt das Theorem von Herrn Holditch in der Form \[ S_2-S_1=\pi(12)\,(31). \] Vier Punkten 1, 2, 3, 4 entsprechen vier Flächen \(S_1, S_2, S_3, S_4\). Eliminirt man aus den vier Gleichungen, welche \(S_1, S_2, S_3, S_4\) bestimmen, die Coefficienten \(A, B, C\) so ergiebt sich als Eliminationsresultante \[ \begin{vmatrix} S_1, &x_1, &y_1, &1\\ S_2, &x_2, &y_2, &1\\ S_3, &x_3, &y_3, &1\\ S_4, &x_4, &y_4, &1 \end{vmatrix}=\frac O2\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2, &x_1, &y_1, &1\\ x_2^2+y_2^2, &x_2, &y_2, &1\\ x_3^2+y_3^2, &x_3, &y_3, &1\\ x_4^2+y_4^2, &x_4, &y_4, &1\end{vmatrix}. \] Aus ihr ist abzulesen, dass, wenn (123) die Dreieckfläche, welche durch 1, 2, 3 gebildet wird, mit dem bezüglichen Zeichen \(+\) oder \(-\) bedeutet, \[ S_1(234)+S_2(341)+S_3(412)-S_4(123)=123\frac O2\cdot P, \] worin die Grösse \(P\) die Potenz des Punktes 4 in Bezug auf den durch 1, 2, 3 gelegten Kreis bedeutet. In dieser Relation liegt eine Verallgemeinerung des Theoremes von Leudesdorf, der dies Theorem für geschlossene Curven \(O=2\pi\) aussprach.Es sei eine gerade Linie in dem beweglichen System durch \(xu+yv+w=0\) mit der Bedingung \(u^2+v^2=1\) dargestellt, und auf die festen Axen bezogen sei ihre Gleichung \[ x_1u_1+y_1v_1+w_1=0; \quad u_1^2+v_1^2=1. \] Die Grössen \(u_1,v_1,w_1\) lassen sich durch \(u,v,w\) und \(\alpha,\beta,\omega\) darstellen. Geht das bewegliche System aus irgend einer Lage \(P_0\) in eine andere \(P_1\) über, so beschreibt die Gerade eine Enveloppe; die Coordinaten eines ihrer Punkte werden als Functionen von \(u,v,w\) und \(\alpha,\beta,\omega\) zum Ausdruck gebracht, ihre Differentiale als abhängig von \(d\omega\) gebildet und für das Bogenelement \(ds\) der Enveloppe der Werth in jenen Grössen dargestellt. Bei der Integration von \(\omega_0\) bis \(\omega_1\) treten die von \(\omega\) unabhängigen Grössen \(u,v,w\) vor die Integrale, und für \(s\) wird der Ausdruck gewonnen \[ s=wO+u\int_{\omega_0}^{\omega_1}\left(\alpha+\frac{d^2\alpha}{d\omega^2} \right)d\omega+v\int_{\omega_0}^{\omega_1}\left(\beta+\frac{d^2\beta} {d\omega^2}\right) d\omega. \] Setzt man die Coefficienten von \(u\) und \(v\) bezüglich gleich \(\xi''O\) und \(\eta''O\), so ist \(s=O(w+n\xi''+v\eta'')\). Es ist also der Bogen \(s\) gleich dem Drehungswinkel des Gebildes multiplicirt mit dem Abstand eines bestimmten Punktes \(A\) des beweglichen Systems von der in ihm betrachteten Geraden.Die Coordinaten \(\xi'', \eta''\) des Punktes \(A\) sind durch obige Integrale bestimmt. Ihre Untersuchung lässt erkennen, dass \(\xi''=\xi'-\frac{\eta_1-\eta_0}O\) und \(\eta''=\eta'-\frac{\xi_1-\xi_0}O\), worin \(\xi',\eta'\) die Coordinaten des Krümmungsschwerpunktes \(C'\) und \((\xi_0,\eta_0, (\xi-1,\eta_1)\) die Coordinaten des augenblicklichen Drehpunktes \(A_0\) und \(A_1\) in Anfangs- und Endlage des Systems bezeichnen. Der Punkt \(C''\) mit den Coordinaten \(\xi'', \eta''\) lässt sich demnach aus \(C',A_0\) und \(A_1\) construiren. Man lasse die Strecke \(\overline {A_0A_1}\)um \(90^\circ\) in positivem Sinne sich drehen, und man erhält die Richtung von \(\overline{C'C''}\), die Grösse aber ist gegeben durch den Ausdruck \(\frac{\overline{A_0A_1}}O\). Bei einer periodischen Bewegung fällt also der Punkt \(C''\) mit den Krümmungsschwerpunkt zusammen. Drei Geraden 1, 2, 3, welche sich in einem Punkte schneiden, entsprechen bei der Bewegung 3 Bogen \(s_1,s_2,s_3\). Eliminirt man aus den sie darstellenden Gleichungen die Werthe \(O\eta''\) und \(O\xi''\), so erhält man, wenn man mit \((i,k)\) den Sinus des Winkels, den die Geraden \(i\) und \(k\) bilden, bezeichnet, die Relation: \[ s_1(2,3)+s_2(3,1)+s_3(1,2)=0. \] Mit dieser Formel findet die Frage eine Lösung: “Wenn zwei Curven \(C_1\) und \(C_2\) gegeben sind, eine neue Curve \(C_3\) zu finden, deren Bogenlänge gleich ist der Summe der Bogenlängen jener beiden Curven.” Schneiden sich die 3 Geraden 1, 2, 3 nicht in einem Punkte, sondern umgrenzen sie ein Dreieck mit den Seiten \(a,b,c\), so wird durch analoge Schlüsse die Relation gegeben \[ as_1+bs_2+cs_3=2OS, \] wo \(S\) die Dreiecksfläche bedeutet.Dieselbe Methode, die oben angewendet wurde, wird zur Bestimmung der Flächen benutzt, welche eine Gerade des beweglichen Gebildes umschreibt. Die Fläche ist eine quadratische Function von \(u,v,w\), und ihre Form lässt erkennen, dass alle Geraden, welche gleich Flächenräume umschreiben, einen Kegelschnitt umhüllen, und dass das System der Kegelschnitte, welches den verschiedenen Werthen der Flächenräume entspricht, confocal ist. Für eine periodische Bewegung fällt der Krümmungsschwerpunkt der beweglichen Roulette in den Mittelpunkt des Systems. Für geschlossene, convex gekrümmte Rouletten ist dieser Satz bereits in einer Abhandlung des Herrn Ad. Schumann (Programm der Louisenstädtischen Realschule in Berlin 1867) bewiesen. In derselben wird ausserdem gezeigt, dass die Axen des Systems Hauptträgheitsaxen der in Steiner’schem Sinne belasteten Roulette sind, und dass die Axe, welche die Brennpunkte enthält, das grössere Trägheitsmoment von beiden besitzt. Die andere Axe besitzt das kleinste Trägheitsmoment und umschreibt den kleinsten Flächenraum. Die Fläche \(\mathfrak B\), welche irgend eine andere Gerade umschreibt, unterscheidet sich von diesem Minimalwerth um eine Kreisfläche; es ist dies die Fläche des Kreises, welcher den Kegelschnitt, der durch die Gerade definirt ist, in den Scheiteln der grossen resp. reellen Axe berührt. Der Kreis, welcher den Kegelschnitt in den Scheiteln der kleinen Axe berührt, giebt den Unterschied der Flächen \(\mathfrak B\) von derjenigen Fläche an, welche die grosse oder eine durch den Brennpunkt gehende Gerade umschreibt. Letztere Relationen sind der Analyse des Herrn Darboux entgangen; da sie wenig bekannt sein dürften, so mag an dieser Stelle darauf hingewiesen sein.Jede Bewegung eines starren sphärischen Gebildes auf einer Kugelfläche lässt sich hervorgebracht denken durch Rollung einer mit diesem Gebilde fest verbundenen sphärischen Curve auf einer festen Curve. Denkt man die bewegliche Curve in ihren einzelnen Punkten mit Massen belastet, welche der Summe der geodätischen Krümmungen entsprechender Punkt beider Rouletten proportional sind, so kann man den Schwerpunkt der so belasteten beweglichen Roulette ihren Krümmungsschwerpunkt nennen.Bei einer periodischen Bewegung des starren Gebildes beschreibt irgend ein Punkte \(M\) eine geschlossene Fläche; dieslbe ist gleich einer constanten Grösse, multiplicirt mit dem cosinus des geodätischen Bogens, welcher \(M\) mit einem bestimmten Punkte \(A\) der beweglichen Figur verbindet; der Punkte \(A\) aber ist der Endpunkt des Radius, welcher das Krümmungscentrum der beweglichen Roulette enthält. Nach dem Princip der complementären Gebilde lässt sich dieser Satz transformiren, und es ergiebt sich: Bei der characterisirten Bewegung umschreibt ein Bogen eines grössten Kreises eine geschlossene sphärische Enveloppe. Der Unterschied zwischen ihrer Länge und der Peripherie eines grössten Kreises ist proportional dem cosinus des Winkels, welchen der grösste Kreis der beweglichen Figur mit einem bestimmten anderen grössten Kreise bildet; der Pol des letzteren ist der oben gekennzeichnete Punkt \(A\).Endlich wendet sich Herr Darboux zu der Bewegung eines starren Gebildes im Raume. Ein Punkt des beweglichen Gebildes wird auf ein der beweglichen Figur angehöriges und auf ein anderes im Raume fest liegendes Axenkreuz bezogen. Die Coefficienten, welche in die Gleichungen eingehen, die die Coordinaten des festen Systems durch die Coordinaten des beweglichen ausdrücken, werden als abhängig von zwei Parametern \(u\) und \(v\) betrachtet. Jeder Punkt des beweglichen Systems wird demnach eine Flächentrajectorie beschreiben. Einem umgrenzten Flächenstück dieser Trajectorie wird ein Werthsystem von \(u,v\) entsprechen. Das Volumen eines Kegels, welcher zur Spitze den Anfangspunkt des festen Axenkreuzes und zur Basis jenes Trajectorienstück hat, wird durch ein nach \(du\) und \(dv\) zu bildendes Doppelintegral sich darstellen; in diesem sind aber die Coordinaten \(x,y,z\) des beweglichen Axenkreuzes von \(u\) und \(v\) unabhängig, so dass, wenn man diselben vor die Integrale zieht, das Volumen des Kegels sich darstellt in der Form \[ V+(x^2+y^2+z^2)\,(Ax+A'Y+A''z)+\varphi(x,y,z), \] wo \(\varphi(x,y,z)\) eine Function vom zweiten Grade, die in ihr auftretenden Constanten, sowie die \(A,A',A''\) Doppelintegrale sind, die durch die Bewegungsform bestimmt werden. Aus der Gleichungsform lässt sich erkennen, dass die Punkte der beweglichen Figur, denen gleiche Kegelvolumina entsprechen, auf einer Fläche dritten Grades enthalten sind, welche die unendlich entfernte Ebene in dem imaginären Kugelkreis schneidet.Ist die Bewegungsform eine derartige, dass, wenn \(u\) constant gedacht wird, jede durch \(n\) bedingte Curve geschlossen ist, das Analoge aber auch statt hat, wenn \(v\) unveränderlich gedacht wird, demnächst aber alle dem Parametersystem zugehörigen Werthe annimmt, so verschwinden die Integrale \(A,A',A''\) und jener Ort reducirt sich auf eine Fläche zweiten Grades.Ein Beispiel hierfür bilden die Fusspunktflächen. Es sei \(\sum\) irgend eine Flächen und \(\sum'\) das zu einer Tangentialebene von \(\sum\) zugehörige Spiegelbild der Fläche. Verändert sich die Lage der Tangentialebene, so bewegt sich \(\sum'\) rollend auf \(\sum\). Irgend ein Punkt \(M'\), welcher mit \(\sum'\) fest verbunden gedacht wird, ist stets der Spiegelpunkt des festen Punktes \(M\) in dem Gebilde \(\sum\), und daher ist die von \(m'\) beschriebene Trajectorienfläche ähnlich und ähnlich gelegen mit der Fusspunktenfläche des Pols \(M\) in Bezug auf die Fläche \(\sum\). Das Aehnlichkeitsverhältniss ist das von 2:1. Ist \(\sum\) eine geschlossene Fläche, so tritt der oben charakterisirte Fall ein, d. h. die Trajectorien aller Punkte sind geschlossen, und es verschwinden die Integrale \(A,A',A''\), das Volumen der Flächentrajectorie des Punktes \(M'\) und folglich auch das der Fusspunktenfläche, welches \(\frac18\) von jenem beträgt, ist eine Function zweiten Grades der Coordinaten von \(M'\) in Bezug auf die in \(\sum'\) angenommenen Axen, also auch der Coordinaten von \(M\) in Bezug auf die festen, dem System \(\sum\) angehörigen Axen. Diejenigen Fusspunktenflächen haben also ein constantes Volumen, deren Pole einer bestimmten Fläche zweiten Grades angehören. Dieses Theorem ist zuerst von Herrn Hirst im LXII. Bd. des Crelle’schen Journals ausgesprochen worden und erscheint hier als ein besonderer Fall der allgemeinen Theorie der Volumina von Trajectorienflächen.Zum Schluss wird auf ein Analogon des Theorems von Herrn Holditch hingewiesen. Es bewege sich eine Gerade nach irgend einem Gesetz; als diese gelte die \(X\)-Axe. Das Volumen \(V\) eines Punktes wird alsdann gegeben durch den Ausdruck \[ V=\frac O3x^3+Ax^2+Bx+C. \] Hierin bedeutet \(O\) das Flächenstück der Einhetiskugel, welches die Endpunkte aller Radien enthält, die allen Lagen der Geraden parallel laufen. Bezeichnen \(V_1,V_2,V_3,V_4\) die Volumina, welche von vier Punkten 1, 2, 3, 4 der Geraden umschrieben werden, so besteht, wenn (1,2) den Werth \(x_1-x_2\) bedeutet, die Relation \[ \begin{split} \frac{V_1}{(1,2)\,(1,3)\,(1,4)}+\frac{V_2}{(2,1)\,(2,3)\,(2,4)} +\frac{V_3}{(3,1)\,(3,2)\,(3,4)}\\ +\frac{V_4}{(4,1)\,(4,2)\,(4,3)}=\frac O3. \end{split} \] Reviewer: Schumann, Dr. (Berlin) Cited in 4 Reviews JFM Section:Zehnter Abschnitt. Mechanik. Capitel 2. Kinematik. × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: EuDML