On generic polynomials for the modular 2-groups. (English) Zbl 1001.12003

Rikuna, Yūichi

Proc. Japan Acad., Ser. A 78, No. 3, 33-35 (2002).

Für einen Körper \(K\) und eine endliche Gruppe \(G\) wird ein Polynom \[ f(x,t_1,\dots, t_n)\in K[X, T_1,\dots, T_n] \] \(G\)-generisch bez. \(K\) genannt, falls 1) die Galoisgruppe von \(f(x, t_1,\dots, t_n)\) über \(K(T_1,\dots, T_n)\) zu \(G\) isomorph ist und 2) jede Galoissche Erweiterung eines \(K\) umfassenden Körpers \(L\) mit \(G\) als Galoisgruppe als Zerfällungskörper über \(L\) eines spezialisierten Polynoms \(f(x, \ell_1,\dots, \ell_n)\), \(\ell_1,\dots, \ell_n\in L\), erhalten werden kann.
Die modulare 2-Gruppe \(\text{Mod}_{2^{n+2}}\) der Ordnung \(2^{n+2}\) ist die durch zwei Elemente \(a\) und \(b\) mit den Relationen \(a^{2^{n+1}}= b^2=1\), \(ab= ba^{1+2^n}\) erzeugte Gruppe. Für einen Körper \(K\), der eine von 2 verschiedene Charakteristik hat und eine primitive \(2^n\)-te Einheitswurzel enthält, wird ein explizites \(\text{Mod}_{2^{n+2}}\)-generisches Polynom bez. \(K\) konstruiert. Die Konstruktion beruht auf einer expliziten Lösung des sogenannten linearen Noetherschen Problems.

Reviewer: Christian U.Jensen (København)

MSC:

12F12	Inverse Galois theory
13A50	Actions of groups on commutative rings; invariant theory

Keywords:

Galois groups; generic polynomials; linear Noether problem

References:

[1]	Hashimoto, K., and Mikake, K.: Inverse Galois problem for dihedral groups. Number Theory and Its Applications (Kyoto, 1997). Dev. Math. vol. 2, Kluwer, Dordrecht, pp. 165-181 (1999). · Zbl 0965.12004
[2]	Hashimoto, K., and Rikuna, Y.: On generic families of cyclic polynomials with even degree. Manuscripta Math. (To appear). · Zbl 1005.12002 · doi:10.1007/s002290100232
[3]	Kemper, G.: A constructive approach to Noether’s problem. Manuscripta Math., 90 , 343-363 (1996). · Zbl 0865.12005 · doi:10.1007/BF02568311
[4]	Kemper, G., and Mattig, E.: Generic polynomials with few parameters. J. Symbolic Computation, 30 , 843-857 (2000). · Zbl 0974.12004 · doi:10.1006/jsco.1999.0385
[5]	Rikuna, Y.: On simple families of cyclic polynomials. Proc. Amer. Math. Soc. (To appear). · Zbl 0990.12005 · doi:10.1090/S0002-9939-02-06414-6
[6]	Smith, L.: Polynomial Invariants of Finite Groups. Res. Notes Math. vol. 6, A. K. Peters, Wellesley, MA (1995). · Zbl 0864.13002