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Interpolation formulas and auxiliary functions. (English) Zbl 1010.11039
Les démonstrations de transcendance et d’indépendance algébrique reposent sur la construction par extrapolation d’une fonction auxiliaire, holomorphe sur un certain domaine, de norme petite sur une boule assez grande contenue dans ce domaine. L’auteur, considérant les problèmes ouverts classiques (théorème des six exponentielles, conjecture de Schanuel et généralisations,\(\dots\)) pour lesquels cette approche jusqu’à présent échoue, se pose la question de savoir dans quelle mesure la fonction auxiliaire ainsi construite exploite pleinement les hypothèses. Reprenant un travail précédent sur la fonction exponentielle, il démontre, dans ce texte pour les fonctions elliptiques de Weierstrass, que l’existence d’une suite de telles fonctions auxiliaires est en fait équivalente à l’appartenance du point considéré au sous-groupe analytique attaché à la situation. Il démontre également qu’on ne peut espérer construire une fonction auxiliaire du même type qui soit beaucoup plus petite sur la boule précédemment exhibée.
Le point essentiel à la base de ces résultats est une formule d’interpolation, d’où découlent des lemmes de Schwarz et d’approximation pour les fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, sur des ensembles “semi-produits” mélangeant multitude et multiplicités des points. Il est remarquable que, même dans le cas du lemme de Schwarz, le décompte des points doit se faire modulo une condition de séparation explicite. Des exemples montrent que cette condition est bel et bien nécessaire.

MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
11J89 Transcendence theory of elliptic and abelian functions
41A05 Interpolation in approximation theory
32E30 Holomorphic, polynomial and rational approximation, and interpolation in several complex variables; Runge pairs
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References:
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