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Statistical behaviour of the leaves of certain holomorphic foliations. (Sur le comportement statistique des feuilles de certains feuilletages holomorphes.) (French) Zbl 1010.37025
Ghys, Étienne (ed.) et al., Essays on geometry and related topics. Mémoires dédiés à André Haefliger. Vol. 1. Genève: L’Enseignement Mathématique. Monogr. Enseign. Math. 38, 15-41 (2001).
On considère les plus simples des feuilletages holomorphes pouvant avoir une dynamique chaotique: les feuilletages holomorphes transverses \(F\) à une fibration dont la base est une surface de Riemann \(S\) de volume fini et de fibre \(\mathbb{C}\mathbb{P}^k\) \((k= 1,2)\). Un tel feuilletage est déterminé par sa représentation d’holonomie \(\rho: \pi_1(S)\to \text{PSL}(n,\mathbb{C})\) \((n= 2,3)\). On peut associer à toute représentation \(\rho\) sa suspension, qui est un fiberation \(\pi_\rho: M_\rho\to S\) munie d’un feuilletage \(F_\rho\) transverse aux fibres. La dynamique de \(F_\rho\) est donnée par celle du groupe d’holonomie \(\rho(\pi_1(S))\), la métrique de \(S\) servant de paramétrage temporel. On ajoute l’hypothèse \((*)\): L’holonomie de tout “petit” lacet \(\gamma\), faisant le tour d’un “trou” de \(S\), a toutes ses valeurs propres de module 1. On utilize les mesures ergodiques et qui décrivent le comportement statistique des orbites d’un ensemble de mesure de Lebesgue positive de points: mesure physique ou mesure SRB.
Le but de cette note est de montrer que si \(F\) n’est pas transversalement mesuré alors le comportement statistique de toutes les feuilles peut être décrit par une même mesure de probabilité \(\nu\) sur l’espace total.
Théorème 1: Soit \(S\) une surface de Riemann hyperbolique de volume fini. Soit \(\rho: \pi_1(S)\to \text{PSL}(2,\mathbb{C})\) une représentation vérifiant l’hypothèse \((*)\), et telle que les exposants de Lyapunov de la mesure de Liouville pour le cocycle induit par \(\rho\) soient non nuls. Notons \(\nu\) la projection sur \(M_\rho\) de la mesure SRB du flot géodésique feuilleté \(X_\rho\). Alors, pour tout compact \(K\subset M_\rho\), pour toute suite \((x_n\in K)_{n\in\mathbb{N}}\) et toute suite \((r_n)_{n\in\mathbb{N}}\) convergeant vers \(+\infty\), la famille de probabilités \(\nu_{r_n}(x_n)\) (obtenue en normalisant la mesure d’aire sur le disque \(D_{r_n}(x_n)\) converge vers \(\nu\) pour la topologie faible quand \(r\) tend vers \(+\infty\).
Dans le cas où \(S\) est une surface de Riemann compacte, on démontre le
Théorème 2: Soit \(S\) une surface de Riemann compacte (munie de sa métrique hyperbolique) et \(\rho: \pi_1(S)\to \text{PSL}(n,\mathbb{C})\), \(n\in\{2,3\}\) une représentation. Alors: 1) ou bien le groupe \(\rho(\pi_1(S))\subset \text{PSL}(n,\mathbb{C})\) laisse invariante une probabilité sur \(\mathbb{C}\mathbb{P}^{n-1}\) (c’est-à-dire que le feuilletage \(F_\rho\) est transversalement mesuré); 2) ou bien, il existe une mesure \(\nu\) sur \(M_\rho\) telle que, pour toute suite \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de points de \(M_\rho\) et toute suite \(r_n\) tendant vers l’infini, la suite des probabilités \(\nu_{r_n}(x_n)\) converge vers \(\nu\) pour la topologie faible.
For the entire collection see [Zbl 0988.00114].

MSC:
37F75 Dynamical aspects of holomorphic foliations and vector fields
37C85 Dynamics induced by group actions other than \(\mathbb{Z}\) and \(\mathbb{R}\), and \(\mathbb{C}\)
32S65 Singularities of holomorphic vector fields and foliations
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