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Points of small height on semi-Abelian varieties. (Points de petite hauteur sur les variétés semi-abéliennes.) (French) Zbl 1018.11034

L’A. étudie les propriétés d’équirépartition et de densité des points de petite hauteur sur les sous-variétés algébriques des variétés semi-abeliennes. Dans les cas extrèmes des variétés abeliennes et des tores multiplicatifs, ces propriétés ont été établies par E. Ullmo, S. Zhang et S. David-P. Philippon pour les variétés abeliennes et E. Bombieri-U. Zannier, W. Schmidt, Y. Bilu et S. David-P. Philippon pour les tores multiplicatifs.
L’A. démontre l’analogue de ces propriétés dans les cas où la variété semi-abelienne est isotriviale (c’est-à-dire le produit d’une variété abelienne et d’un tore multiplicatif). Il montre en particulier dans ce cas que pour toute sous-variété algébriques \(X\) d’une variété semi-abelienne isotriviale, il existe un réel \(\varepsilon> 0\) tel qu’aucun point de \(X\) défini sur \(\overline{\mathbb{Q}}\), n’appartenant pas à l’union des translatés de sous-groupe algébrique par un point de torsion contenu dans \(X\), soit de hauteur normalisée \(<\varepsilon\). L’approche utilisées repose sur des arguments de géométrie analytique complexe et d’Arakelov.
Pour les variétés semi-abeliennes quelconques la situation est plus délicate, la généralisation naturelle des résultats démontrés par l’A. est fausse, comme ce dernier le montre au §5 de son texte. Toutefois, une partie des résultats démontrés par l’A. (correspondant aux conjectures dites de Bogomolov et Philippon) est généralisée aux variétés semi-abeliennes quelconques par S. David et P. Philippon [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 331, 587-592 (2000; Zbl 0972.11059)].

MSC:

11G50 Heights
14G40 Arithmetic varieties and schemes; Arakelov theory; heights
14G15 Finite ground fields in algebraic geometry

Citations:

Zbl 0972.11059
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Full Text: DOI Numdam EuDML

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