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\(p\)-adic representations and universal norms. I: The crystalline case. (Représentations \(p\)-adiques et normes universelles. I: Le cas cristallin.) (French) Zbl 1024.11069
Soit \(K\) une extension finie non ramifiée de \(\mathbb{Q}_p\). Par analogie avec le complété \(p\)-adique du groupe des points d’une variété abélienne définie sur \(K\), Bloch et Kato ont construit, pour toute représentation \(p\)-adique \(V\) du groupe de Galois absolu \(G_K\), des sous-\(\mathbb{Q}_p\)-espaces vectoriels \(H^1_*(K,V)\) de \(H^1(K,V)\), pour \(*\in\{e,f,g\}\) (exponentiel, fini, géométrique), et pour tout \(\mathbb{Z}_p\)-réseau \(T\) de \(V\) stable par \(T_K\) des \(\mathbb{Z}_p\)-modules de type fini \(H^1_*(K,T)\). Comme dans la théorie d’Iwasawa classique, on considère la tour cyclotomique des corps \(K_n =K(\mu_{p^n})\) et les \(\mathbb{Z}_p[[G_\infty]]\)-modules \(Z_{\infty,*}(K,T): =\varprojlim H^1(K_n,T)\) où \(G_\infty= \text{Gal} (K_\infty/K)\). On sait qu’ils ont le même rang et on s’intéresse en particulier à leurs sous-modules de torsion. En s’inspirant d’une conjecture formulée par Jan Nekovař pour les représentations de de Rham, l’auteur demontre le résultat principal suivant:
Soit \(V\) une représentation \(p\)-adique cristalline de \(G_K\) qui n’admet pas de sous-représentation \(W\) non triviale telle que les nombres de Hodge-Tate de \(W\) soient tous strictement positifs. Alors \(Z_{\infty,g}(K,V)\) est de torsion sur \(\mathbb{Q}_p\otimes\Lambda\), où \(\Lambda\) est l’algèbre d’Iwasawa.
Il en résulte en particulier que:
– pour toute représentation \(p\)-adique cristalline \(V\) telle que \(V^{G\infty}=0\), le sous-\(\mathbb{Z}_p\)-module de \(H^1_g(K,T)\) formé des normes universelles relativement à l’extension \(K_\infty/K\) est de rang égal à \([K:\mathbb{Q}_p] \dim\text{Fil}^1V\).
– pour toute représentation \(p\)-adique cristalline \(V\), l’homomorphisme naturel de “twist” \[ Z^1_\infty(K,V):= \varprojlim H^1(K,V)\to Z^1_\infty(K,V(1)) \] envoie \(Z_{\infty,g} (K,V)\) dans \(Z_{\infty,g} (K,V(1)).\)
On peut aussi donner des applications aux représentations \(p\)-adiques \(V\) attachées à des courbes elliptiques ou des formes modulaires.

MSC:
11R23 Iwasawa theory
11S20 Galois theory
11G25 Varieties over finite and local fields
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Full Text: DOI
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