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Moduli space of semistable sheaves of rank 2 of Chern classes \(c_1=0\), \(c_2=2\) and \(c_3=0\) over the cubic of \(\mathbb{P}^4\). (Espace des modules des faisceaux de rang 2 semi-stables de classes de Chern \(c_1=0\), \(c_2=2\) et \(c_3=0\) sur la cubique de \(\mathbb{P}^4\).) (French) Zbl 1024.14004
De l’introduction: Soient \(X\subset\mathbb{P}^4\) une hypersurface cubique lisse et \(\ell \subset X\) une droite de \(\mathbb{P}^4\). Soit \(X_\ell\) la variété obtenue en éclatant \(\ell\) dans \(X\). La projection le long de \(\ell\) induit un morphisme \(X_\ell @>p>>\mathbb{P}^2\) dont les fibres sont les coniques qui sont coplanaires avec \(\ell\). Lorsque la droite \(\ell\) est générique les fibres de \(p\) sont lisses ou réunion de deux droites distinctes. Le lieu de dégénérescence de \(p\) est alors une courbe plane lisse et connexe \(C_0\) de degré 5. Soit \(C\) la variété des droites contenues dans \(X\) et incidentes à \(\ell\). Le morphisme \(C\to C_0\) est un revêtement étale double connexe. Soit \(i\) l’involution échangeant les deux feuillets dudit revêtement et notons encore \(i\) l’automorphisme induit sur la jacobienne \(JC\). La variété de Prym associée au revêtement \((C,C_0)\) est alors \(P=(\text{Id}-i)JC\). C’est une variété abélienne principalement polarisée de dimension 5. Soient \(A_1 (X)\) le groupe des 1-cycles algébriques modulo l’équivalence rationnelle et \(A\subset A_1(X)\) le sous-groupe des cycles algébriquement équivalents à zéro. L’application qui à \(t\in C\) associe la classe de la droite correspondante \(z_t\subset X_\ell\) dans \(A\) induit un isomorphisme de groupes \(P\simeq A\). On démontre que pour toute variété lisse \(T\) de dimension pure \(n\geq 1\) et tout \((n+1)\)-cycle \(z\) sur \(X\times T\) l’application d’Abel-Jacobi qui à \(t\in T\) associe la classe du cycle \(z_t-z_{t_0}\) dans \(P\), où \(t_0\in T\) est fixé, est algébrique. La jacobienne intermédiaire de \(X\) est définie par: \(J(X)=(H^{2,1} (X))^*/\alpha(H_2(X, \mathbb{Z}))\), où \(\alpha\) et l’application donnée par intégration sur les cycles. C’est une variété abélienne principalement polarisée de dimension 5 isomorphe à la variété de Prym. Via cet isomorphisme, l’image du cycle \(z_t-z_{t_0}\) par l’application d’Abel-Jacobi est la forme linéaire donnée par intégration sur le cycle \(\Gamma\) modulo le groupe \(\alpha(H_3 (X,\mathbb{Z}))\) où \(\partial \Gamma=z_t-z_{t_0}\). On démontre enfin que l’application d’Abel-Jacobi induit un plongement de la surface de Fano de \(X\) dans \(J(X)\).
Théorème 1.4. Soient \(X\subset\mathbb{P}^4\) une hypersurface cubique lisse et \(B\) la surface de Fano de \(X\). Alors l’espace des modules \(M_X\) des faisceaux semi-stables de rang 2 sur \(X\) de classes de Chern \(c_1=0\), \(c_2=2\) et \(c_3=0\) est isomorphe à l’éclatement d’un translaté de la surface \(-B\) dans la jacobienne intermédiaire \(J(X)\).

MSC:
14D20 Algebraic moduli problems, moduli of vector bundles
14J30 \(3\)-folds
14F05 Sheaves, derived categories of sheaves, etc. (MSC2010)
14J60 Vector bundles on surfaces and higher-dimensional varieties, and their moduli
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