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Recent advances on the Baum-Connes conjecture. Vincent Lafforgue’s contribution. (Progrès récents sur la conjecture de Baum-Connes. Contribution de Vincent Lafforgue.) (French) Zbl 1029.19005
Séminaire Bourbaki. Volume 1999/2000. Exposés 865-879. Paris: Société Mathématique de France, Astérisque 276, 105-135, Exp. No. 869 (2002).
Die Baum-Connes-Vermutung stellt eine weitreichende Verallgemeinerung des Index-Theorems von Atiyah und Singer dar. Sei \(M\) eine (in der Regel nicht kompakte) glatte Mannigfaltigkeit, auf der eine lokal kompakte Gruppe \(G\) eigentlich und kokompakt operiert. Zu jedem \(G\)-äquivarianten linearen elliptischen Differentialoperator \(D\) auf \(M\) kann man dann einen topologischen Index \[ \text{Ind}_t(D)\in K^G_0(\underline{EG}) \] sowie einen analytischen Index \[ \text{Ind}_a(D)\in K_0(C^*_r(G)) \] assoziieren. Hierbei bezeichnet \(K^G_0(\underline{EG})\) die äquivariante \(K\)-Homologie des universellen eigentlichen \(G\)-Raums \(\underline{EG}\) und \(K_0(C^*_r(G))\) die \(K\)-Theorie der reduzierten Gruppen \(C^*\)-Algebra von \(G\). Wie im klassischen Fall hängt der analytische Index eines elliptischen Operators nur von seinem topologischen Index ab. Ausserdem wird jede Klasse in \(K^G_0(\underline{EG})\) durch topologische Indizes repräsentiert. Ordnet man einem elliptischen Operator seinen analytischen Index zu, so erhält man einen Homomorphismus \[ \mu: K^G_*(\underline{EG})\to K_*(C^*_r(G)). \] Die Baum-Connes Vermutung besagt, dass dieser Homomorphismus ein Isomorphismus ist.
Die Baum-Connes Vermutung ist für spezielle Klassen von Gruppen bewiesen worden. Die dabei benutzte Beweisstrategie geht auf Kasparov zurück. Es wird zunächst die Assembly-Abildung \(\mu\) als Multiplikation mit einem kanonischen Element \(\alpha\in KK_G(C^0(\underline{EG}), \mathbb{C})\) in einer bivarianten \(K\)-Gruppe identifiziert und danach gezeigt, dass \(\alpha\) invertierbar bezüglich dem Kasparov-Produkt in der bivarianten \(K\)-Theorie ist. Kasparov hat für eine grosse Klasse von Gruppen ein kanonisches Element \(\beta\in KK_G(\mathbb{C}, C^0(\underline{EG}))\) eingeführt, das die Gleichung \[ \beta\circ\alpha= 1\in KK_G(C^0(\underline{EG}), C^0(\underline{EG})) \] erfüllt. Es bleibt zu zeigen, dass \[ \alpha\circ\beta:\gamma= 1\in KK_G(\mathbb{C}, \mathbb{C}) \] ist. Dazu geht man folgendermassen vor. Man konstruiert einen möglichst kanonischen \(K\)-Zykel, der das \(\gamma\)-Element repräsentiert, d.h. ein Paar \(({\mathcal H}, {\mathcal F})\), bestehend aus einer quadratintegrierbaren Darstellung unitären Darstellung von \(G\) auf einem \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)-graduierten Hilbertraum \({\mathcal H}\), sowie einem ungeraden (bzgl. der Graduierung) Fredholm-Operator \(F\) vom Index 1, der bis auf kompakte Störung mit der \(G\)-Wirkung kommutiert. Schliesslich konstruiert man eine Homotopie zwischen diesem \(K\)-Zykel und der trivialen Darstellung, die als K-Zykel die Klasse \(1\in KK_G(\mathbb{C}, \mathbb{C})\) repräsentiert.
Es ist klar, dass diese Strategie sich nur für Gruppen verwirklichen lässt, für die sich die triviale Darstellung in eine in der regulären Darstellung enthaltene deformieren lässt. Ist dagegen die triviale Darstellung ein isolierter Punkt im unitären Dual von \(G\), d.h. \(G\) besitzt Kazhdans Eigenschaft \(T\), so bricht obiger Beweisansatz zusammen. Solche Gruppen treten sehr häufig auf, so besitzen etwa einfache Lie-Gruppen von reellem Rang \(\geq 2\) sowie ihre Untergruppen von endlichem Kovolumen die Eigenschaft \(T\).
Lafforgues Leistung, die in der vorliegenden Arbeit beschrieben wird, besteht darin, die Baum-Connes-Vermutung für eine Klasse von Gruppen bewiesen zu haben, die erstmals auch Gruppen mit Kazhdans Eigenschaft \(T\) enthält. In einer beeindruckenden “Tour de force” verallgemeinert er Kasparovs bivariante \(K\)-Theorie für \(C^*\)-Algebren zu einer bivarianten \(K\)-Theorie für Banach-Algebren. Er entwickelt diverse Struktursätze für seine Theorie, die es schliesslich erlauben, obige Beweisstrategie der Baum-Connes-Vermutung auf eine Klasse von Gruppen auszudehnen, für die die geforderte Deformierbarkeit der trivialen Darstellung zwar nicht im Rahmen unitärer Hilbertraum-Darstellungen, dafür aber im Rahmen geeigneter Banachraum-Darstellungen möglich ist.
Diese Klasse von Gruppen umfasst: reelle reduktive Lie-Gruppen, reduktive algebraische Gruppen über einem lokalen Körper, diskrete kokompakte Untergruppen reeller Lie-Gruppen vom reellen Rang eins, sowie diskrete kokompakte Untergruppen von \(\text{SL}_3(\mathbb{R})\) oder \(\text{SL}_3(\mathbb{Q}_p)\). Zahlreiche dieser Gruppen besitzen Kazhdans Eigenschaft \(T\).
Der ausgezeichnete Beitrag von Skandalis im Rahmen des Séminaire Bourbaki liefert auf notwendigerweise knappem Raum eine sehr präzise und ziemlich detaillierte Darstellung der zahlreichen Varianten der Baum-Connes-Vermutung sowie von Lafforgues Arbeiten. Die fundamentale Homotopie zwischen \(\gamma\) und 1 wird für Gruppen, die isometrisch und eigentlich auf affinen Gebäuden vom Typ \(\widetilde A_2\) operieren, explizit konstruiert. Schliesslich wird noch kurz auf den Beweis der Baum-Connes-Vermutung für mittelbare Wirkungen lokal kompakter Gruppen durch Higson und Kasparov, sowie auf die Arbeiten von Yu zur groben Baum-Connes-Vermutung eingegangen.
For the entire collection see [Zbl 0981.00011].

MSC:
19K35 Kasparov theory (\(KK\)-theory)
46L80 \(K\)-theory and operator algebras (including cyclic theory)
22E50 Representations of Lie and linear algebraic groups over local fields
58J22 Exotic index theories on manifolds
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Full Text: Numdam EuDML