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\(p\)-divisible groups, finite groups and filtered modules. (Groupes \(p\)-divisibles, groupes finis et modules filtrés.) (French) Zbl 1042.14018
From the introduction: Fixons \(p\) un nombre premier, \(k\) un corps parfait de caractéristique \(p>0\), \(W=W(k)\) l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans \(k\), \(K_0=\text{Frac}(W)\), \(K\) une extension finie totalement ramifiée de \(K_0\) de degré \(e\geq 1\), \({\mathcal O}_K\) l’anneau des entiers de \(K\), \(\overline K\) une clôture algébrique de \(K\), \({\mathcal O}_{\overline K}\) l’anneau des entiers de \(\overline K\) et \(\pi\) une uniformisante de \({\mathcal O}_K\). Tous les schémas en groupes considérés sont commutatifs. On appelle parfois \(p\)-groupe un schéma en groupes commutatifs annulés par une puissance de \(p\).
Le but de cet article est de donner une classification, pour \(p\neq 2\) mais sans restriction sur la ramification \(e\), des groupes \(p\)-divisibles sur \({\mathcal O}_K\) et des \(p\)-groupes finis et plats sur \({\mathcal O}_K\), puis d’appliquer cette classification pour démontrer dans le cas où \(k \subseteq\overline\mathbb{F}_p\) (et \(p\neq 2)\) la conjecture de Fontaine qui dit qu’une representation \(p\)-adique de \(\text{Gal}(\overline K/K)\) est cristalline à poids de Hodge-Tate dans \(\{0,1\}\) si et seulement si elle provient d’un groupe \(p\)-divisible sur \({\mathcal O}_K\). J.-M. Fontaine a classifié tous les groupes \(p\)-divisibles sur \({\mathcal O}_K\) pour \(e\leq p-2\) et tous les groupes \(p\)-divisibles connexes sur \({\mathcal O}_K\) pour \(e= p-1\) ainsi que tous les \(p\)-groupes finis et plats sur \(W\) annulés par une puissance de \(p\) [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 280, 1423–1425 (1975; Zbl 0331.14023)] au moyen de ce qu’il a appelé des “systèmes de Honda”. Pour \(e=1\), cette classification a été traduite en termes de modules filtrés [J.-M. Fontaine et G. Laffaille, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 15, 547–608 (1982; Zbl 0579.14037)]. Récemment, B. Conrad [Compos. Math. 119, 239–320 (1999; Zbl 0984.14015)] a étendu la classification par les systèmes de Honda aux \(p\)-groupes finis et plats sur \({\mathcal O}_K\) pour \(e\leq p-2\) (et pour \(e\leq p-1\) si l’on se restreint à des \(p\)-groupes connexes). Dans ce travail, nous généralisons la classification en termes de modules filtrés de [Fontaine et Laffaille, loc. cit.] au cas \(p\neq 2\) et \(e\) quelconque en donnant une construction directe à partir des schémas en groupes de modules filtrés “généralisés”. Avant de donner plus de précisions, signalons que les difficultés dans le cas \(e\geq p-1\) sont de deux types par rapport au cas \(e\leq p-2\): d’une part la catégorie des \(p\)-groupes finis et plats sur \({\mathcal O}_K\) n’est plus abélienne, d’autre part le foncteur “fibre générique” de la catégorie des \(p\)-groupes finis et plats sur \({\mathcal O}_K\) dans celle des \(p\)-groupes sur \(K\) n’est plus pleinement fidèle (par exemple, la représentation galoisienne associée à un \(p\)-groupe sur \({\mathcal O}_K\) ne détecte plus toutes les torsions “à la Tate”). Il faut donc s’abstraire totalement des représentations galoisiennes dans la construction de la classification.
Soient \(u\) une indéterminée, \(S\) le complété \(p\)-adique de l’enveloppe aux puissances divisées de \(W[u]\) par rapport à l’idéal engendré par le polynôme minimal de \(\pi\) sur \(K_0\) et \(\text{Fil}^1S\) le complété \(p\)-adique de cet idéal à puissances divisées. Les modules filtrés “généralisés” considérés ici sont des \(S\)-modules de type fini \({\mathcal M}\) munis de structures additionnelles: un sous-\(S\)-module \(\text{Fil}^1 {\mathcal M}\) contenant \(\text{Fil}^1S\cdot{\mathcal M}\) et une application “semi-linéaire” \(\varphi_1:\text{Fil}^1{\mathcal M}\to {\mathcal M}\) dont l’image engendre \({\mathcal M}\) sur \(S\) (voir (2.1.1) pour plus de détails). Disons qu’un tel module \({\mathcal M}\) est fortement divisible s’il est libre sur \(S\) et si \({\mathcal M}/ \text{Fil}^1{\mathcal M}\) est sans \(p\)-torsion. Un des résultats principaux de cet article est:
Théorème 1.1. Supposons \(p\neq 2\), il y a une anti-équivalence de catégories entre la catégorie des groupes \(p\)-divisibles sur \({\mathcal O}_K\) et la catégorie des modules fortement divisibles.
Le théorème (1.1) se déduit, par passage à la limite, de théorèmes de classification sur les \(p\)-groupes finis et plats sur \({\mathcal O}_K\). Le premier de ces théorèmes est le suivant.
Théorème 1.2. Supposons \(p\neq 2\), il y a une anti-équivalence de catégories entre la catégorie des schémas en groupes finis et plats sur \({\mathcal O}_K\) annulés par \(p\) et la catégorie des objets \(({\mathcal M}, \text{Fil}^1{\mathcal M}, \varphi_1)\) où \({\mathcal M}\) est un \(S/pS\)-module libre de type fini, \(\text{Fil}^1{\mathcal M}\) un sous \(S/pS\)-module contenant \(\text{Fil}^1 S\cdot {\mathcal M}\) et \(\varphi_1\) une application “semi-linéaire” de \(\text{Fil}^1{\mathcal M}\) dans \({\mathcal M}\) dont l’image engendre \({\mathcal M}\) sur \(S/pS\). Pour prouver (1.2), on utilise la topologie syntomique (sur \(\text{Spec}({\mathcal O}_K))\), introduite par B. Mazur [Notes on syntomic sites, notes dactylographiées (1968)]. Le théorème 1.2 se généralise par dévissage au cas des \(p\)-groupes finis et plats sur \({\mathcal O}_K\) en associant à de tels schémas en groupes certains objets \(({\mathcal M},\text{Fil}^1{\mathcal M},\varphi_1)\) définis comme “extensions successives” d’objets aunulés par \(p\) du type (1.2). Nous n’avons pas cherché à rendre ces \(S\)-modules plus explicites dans le cas général (ce qu’il sera peut-être intéressant de faire un jour), mais seulement dans le cas particulier important suivant
Théorème 1.3. Supposons \(p\neq 2\), il y a une anti-équivalence de catégories entre la categorie des \(p\)-groupes finis et plats sur \({\mathcal O}_K\) dont le noyau de la multiplication par \(p^n\) est encore plat pour tout \(n\) et la catégories des objets \(({\mathcal M},\text{Fil}^2{\mathcal M}, \varphi_1)\) où \({\mathcal M}\) est un \(S\)-module de la forme \(\oplus_{i\in I} S/p^{n_i}S\) pour \(I\) fini et \(n_i\in \mathbb{N}^*\), \(\text{Fil}^1{\mathcal M}\) un sous \(S\)-module contenant \(\text{Fil}^1S\cdot{\mathcal M}\) et \(\varphi_1\) une application “semi-linéaire” de \(\text{Fil}^1{\mathcal M}\) dans \({\mathcal M}\) dont l’image engendre \({\mathcal M}\) sur \(S\).
Dans la dernière partie, on démonte:
Théorème 1.4. Supposons \(p\neq 2\), \(k \subseteq\overline\mathbb{F}_p\) et soit \(V\) une représentation \(p\)-adique cristalline de \(\text{Gal} (\overline K/K)\) à poids de Hodge-Tate entre 0 et 1. Alors il existe un groupe \(p\)-divisible \(H\) sur \({\mathcal O}_K\) tel que \(V\simeq T_pH\otimes_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{Q}_p\) où \(T_pH\) est le module de Tate de \(H\).
Cela résoud, pour \(p\neq 2\) et \(k\subseteq \overline \mathbb{F}_p\), une conjecture de J.-M. Fontaine [Groupes \(p\)-divisibles sur les corps locaux, Astérisque 47–48 (1977; Zbl 0377.14009)]. Ce théorème n’était connu jusqu’à présent que pour \(e<p\) (mais sans restriction sur le corps résiduel). L’auteur s’excuse de n’être pas arrivé à remplacer “\(k\subseteq \overline \mathbb{F}_p\)” par “\(k\) parfait”. L’hypothèse “\(k\subseteq \overline \mathbb{F}_p\)” est néanmoins satisfaite dans la plupart des applications.
Théorème 1.5. Supposons \(k\subseteq \overline \mathbb{F}_p\) et soit \(D\) un \((\varphi,N)\)-module filtré faiblement admissible de Fontaine tel que \(\text{Fil}^0 (D\otimes_{K_0}K)= D\otimes_{K_0}K\) et \(\text{Fil}^{p-1} (D\otimes_{K_0} K)=0\), alors \(D\) est admissible.
Corollaire 1.6. Supposons \(p\neq 2\) et \(k\subseteq \overline\mathbb{F}_p\). Soient \(A\) une variété abélienne définie sur \(K\) et \(V_p(A)\) son module de Tate tensorisé par \(\mathbb{Q}_p\). Alors \(A\) a réduction semi-stable (respectivement bonne réduction) sur \({\mathcal O}_K\) si et seulement si \(V_p(A)\) est une représentation semi-stable (respectivement cristalline) de \(\text{Gal} (\overline K/K)\).

MSC:
14L05 Formal groups, \(p\)-divisible groups
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
14L15 Group schemes
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