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On the transcendence of infinite sums of values of rational functions. (English) Zbl 1045.11051

Die beiden Autoren benutzen Theorem 1 ihrer gemeinsamen Arbeit mit S. D. Adhikari und T. N. Shorey [Indag. Math., New Ser. 12, 1–14 (2001; Zbl 0991.11043)] zur Gewinnung von Transzendenzaussagen über unendliche Reihen, deren Glieder Werte gewisser rationaler Funktionen an natürlichen Argumentstellen sind. Um ihr Theorem 1 (loc. cit.) anwenden zu können, ist das Nichtverschwinden gewisser (verwandter) unendlicher Reihen zu garantieren, wozu Verff. das Hauptergebnis von T. Okada [Acta Arith. 40, 143–153 (1982; Zbl 0402.10035)] in geeigneter Umformulierung heranziehen, die hier nicht reproduziert werden soll.
Damit gelingt es dann, aus Theorem 1 (loc. cit.) folgendes Ergebnis abzuleiten. Seien \(q, s_1, s_2 \in \mathbb{Z}, q>1, s_1 \neq s_2\) so, dass \((qn+s_1)(qn+s_2) \neq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}_0\) gilt; seien \(\alpha, \beta \in \overline{\mathbb{Q}}\) nicht beide Null. Ist das Kreisteilungspolynom \(\Phi_{2q}\) über \(\mathbb{Q}(\alpha,\beta)\) irreduzibel und ist \(\alpha \neq 0\), falls \(q | (s_1-s_2)\), so ist die Reihe \[ (*):\sum_{n\geq0} (-1)^n (\alpha n+ \beta)/(qn+s_1)(qn+s_2) \] transzendent. (Bei \(q | (s_1-s_2)\) und \(\alpha = 0\) hat die Reihe \((\star)\) einen explizit angebbaren algebraischen Wert.) Ein analoges Transzendenzresultat wird für Reihen des Typs \((\star)\) ohne den Faktor \((-1)^n\), dafür aber einem weiteren Faktor \((qn+s_3)\) in den Nennern bewiesen.

MSC:

11J81 Transcendence (general theory)
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