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Almost free modules. Set-theoretic methods. Revised ed. (English) Zbl 1054.20037
North-Holland Mathematical Library 65. Amsterdam: North-Holland (ISBN 0-444-50492-3/hbk). xxi, 597 p. (2002).
Vor 30 Jahren zeigte Saharon Shelah am Beispiel des Whiteheadschen Problems, dass man in der Algebra sehr schnell auf Probleme stoßen kann, die auf der Grundlage der üblichen Mengenlehre nicht gelöst werden können, aber unter Zuhilfenahme weiterer mengentheoretischer Axiome, etwa Gödel’s Axiom \(V=L\) oder Martin’s Axiom MA etc., auf unterschiedliche Weise beantwortet werden können. Dieses Resultat stimulierte die Erforschung vieler bis dahin ungelöster Probleme, wobei Methoden und Prinzipien der modernen Mengenlehre ganz wesentlich benutzt wurden. Die erste und bisher einzige Monographie zu diesem Themenkreis ist das “blaue Buch” von P. C. Eklof und A. H. Mekler, das erstmals 1990 erschien [Almost free modules. Set-theoretic methods (North-Holland Mathematical Library 46, North-Holland, Amsterdam) (1990; Zbl 0718.20027)]. Von diesem bedeutenden Buch liegt jetzt eine Neubearbeitung vor. Der Umfang hat dabei um etwa 20% zugenommen. Zwei neue Kapitel wurden hinzugefügt und andere Kapitel beträchtlich erweitert. Wie in der 1. Auflage geht es hauptsächlich um die Themen “fast-freie Moduln” und “die Struktur von \(\text{Ext}(A,B)\), \(\operatorname{Hom}(A,B)\) und \(\text{End}(A)\)”. Neu hinzugekommen ist beispielsweise eine knappe Darstellung der Shelahschen pcf-Theorie (Theorie der möglichen Konfinalitäten) und (ausführlicher) ihre Anwendung auf die Konstruktion fast-freier abelscher Gruppen der Kardinalität \(\geq\aleph_{\omega+1}\).
Neu ist auch die Konstruktion (in der üblichen Zermelo-Skolem-Fraenkelschen Mengenlehre mit Auswahlaxiom, ZSF + AC) starrer \(\aleph_1\)-freier Gruppen der Kardinalität \(\aleph_1\), sowie die Konstruktion \(\aleph_n\)-separabler Gruppen mit “pathologischen” Zerlegungen. Bemerkenswert ist auch der neue Abschnitt über sogenannte Spaltergruppen (“splitters”), d.h. abelscher Gruppen \(G\) mit der Eigenschaft \(\text{Ext}(G,G)=0\).
Am Ende des Buches findet sich eine längere Liste von Problemen, die bisher noch ungelöst sind. Es wird auch die Liste der offenen Probleme aus der 1. Auflage durchgegangen und berichtet, inwieweit manche der damals gestellten Probleme inzwischen gelöst sind.
Auch diese 2. Auflage ist jedem Algebraiker und jedem Mengentheoretiker mit Nachdruck zum Kauf zu empfehlen.

MSC:
20K20 Torsion-free groups, infinite rank
20A15 Applications of logic to group theory
20-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to group theory
03E05 Other combinatorial set theory
16S50 Endomorphism rings; matrix rings
20K30 Automorphisms, homomorphisms, endomorphisms, etc. for abelian groups
03C60 Model-theoretic algebra
03E75 Applications of set theory
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