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Distribution of the sequence \((n\alpha)_{n\in{\mathbb N}}\) and substitutions. (Répartition des suites \((n\alpha)_{n\in{\mathbb N}}\) et substitutions.) (French) Zbl 1060.11043
Étant donné un nombre irrationnel \(\alpha \in [0,1[\), plusieurs auteurs se sont intéressés aux problèmes de répartition des suites \((n\alpha)_{n \in {\mathbb N}}\) par rapport à un intervalle \([0,\beta[\), où \(\beta \in [0,1[\). Deux quantités ont été définies: la discrépance locale à l’origine de la suite \((n\alpha)_{n \in {\mathbb N}}\) en \(\beta\) est la quantité \[ \Delta^*_N(\alpha,\beta) = \biggl| \sum_{0 \leq n < N}\left(\chi_{[0,\beta[}(\{n\alpha \})-\beta\right)\biggr| \] où \(\{n\alpha\}\) désigne la partie fractionnaire de \(n\alpha\), et la discrépance à l’origine de \((n\alpha)_{n \in {\mathbb N}}\) est la quantité \[ D^*_N(\alpha) = \sup_{\beta \in [0,1[} (\Delta^*_N(\alpha,\beta)) \] qui mesure la déviation de la suite \((n\alpha)_{n \in {\mathbb N}}\) par rapport à une répartition idéale. Les résultats de discrépance ont été obtenus en utilisant des systèmes de numération classiques tels que celui d’Ostrowski. Dans cet article intéssant et très bien écrit, l’auteur étudie le comportement asymptotique de la quantité \(\Delta^*_N (\alpha,\beta)\) lorsque \(\alpha\) est un nombre quadratique et \(\beta \in \mathbb Q(\alpha)\). Son étude est basée sur un système de numération généralisé associé à une substitution.

MSC:
11K38 Irregularities of distribution, discrepancy
11K60 Diophantine approximation in probabilistic number theory
68R15 Combinatorics on words
11K06 General theory of distribution modulo \(1\)
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